2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2创新应用课下能力提升（四） Word版含解析

课下能力提升(四)[学业水平达标练]题组1用三段论表示演绎推理1．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于()A．演绎推理B．类比推理C．合情推理D．归纳推理2．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是()A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形3．下面几种推理中是演绎推理的是()A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1)B．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为an＝1nn＋1(n∈N*)C．由“平面内垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2题组2用三段论证明几何问题4．有一段演绎推理是这样的：“若一直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误5．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.求证：AB⊥DE.6．如图所示，三棱锥A­BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．求证：O为△BCD的垂心．题组3用三段论证明代数问题7．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的8．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________．9．已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．[能力提升综合练]1．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C．由三角形的性质，推测四面体的性质D．在数列{an}中，a1＝1，an＝12an－1＋1an－1(n≥2)，由此归纳出an的通项公式2．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故该奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理是()A．小前提错误B．结论错误C．正确的D．大前提错误A．直角梯形B．矩形C．正方形D．菱形4．设⊕是R内的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是()A．自然数集B．整数集C．有理数集D．无理数集5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝12对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________.6．关于函数f(x)＝lgx2＋1|x|(x≠0)，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②当x＞0时，f(x)是增函数；当x＜0时，f(x)为减函数；③f(x)的最小值是lg2;④当－1＜x＜0或x＞1时，f(x)是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是________．7．已知2sin2α＋sin2β＝3sinα，求sin2α＋sin2β的取值范围．8．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b.当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.(1)求证：|c|≤1；(2)当－1≤x≤1时，求证：－2≤g(x)≤2.答案[学业水平达标练]1．答案：A2．答案：B3．解析：选AA是演绎推理，B是归纳推理，C，D是类比推理.4．解析：选A“直线与平面平行”，不能得出“直线平行于平面内的所有直线”，即大前提错误．5．证明：在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，∴BD＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠DAB＝23.∴AB2＋BD2＝AD2.∴AB⊥BD.又平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面EBD.∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.6．证明：如图，连接BO，CO，DO.∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A，∴AD⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴AD⊥BC.∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥BC，又AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，∴O为△BCD的垂心．7．解析：选A这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2＞0”．显然结论错误，原因是大前提错误．8．解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52；结论：△ABC是直角三角形．答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形9．解：(1)证明：因为x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，所以令x＝y＝0得，f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)设x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，因为当x＞0时，f(x)＜0，所以f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为减函数，所以f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．因为f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6，所以函数f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.[能力提升综合练]1．解析：选AB项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理．2．答案：C3.4．解析：选CA错：因为自然数集对减法和除法不封闭；B错：因为整数集对除法不封闭；C对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．5．解析：由题意，知f(0)＝0，f(1)＝f(0)＝0，f(2)＝f(－1)＝0，f(3)＝f(－2)＝0，f(4)＝f(－3)＝0，f(5)＝f(－4)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.答案：06．解析：∵f(x)是偶函数，∴①正确；当x＞0时，f(x)＝lgx2＋1x＝lgx＋1x≥lg2，当且仅当x＝1时取等号，∴0＜x＜1时，f(x)为减函数；x＞1时，f(x)为增函数．x＝1时取得最小值lg2.又f(x)为偶函数，∴－1＜x＜0时，f(x)为增函数；x＜－1时，f(x)为减函数．x＝－1时取得最小值lg2.∴③④也正确．答案：①③④7．解：由2sin2α＋sin2β＝3sinα，得sin2α＋sin2β＝－sin2α＋3sinα＝－sinα－322＋94，且sinα≥0，∵0≤sin2β≤1，sin2β＝3sinα－2sin2α，∴0≤3sinα－2sin2α≤1.解得sinα＝1或0≤sinα≤12.令y＝sin2α＋sin2β，当sinα＝1时，y＝2;当0≤sinα≤12时，0≤y≤54，∴sin2α＋sin2β的取值范围是0，54∪{2}．8．证明：(1)因为x＝0满足－1≤x≤1的条件，所以|f(0)|≤1.而f(0)＝c，所以|c|≤1.(2)当a＞0时，g(x)在[－1,1]上是增函数，所以g(－1)≤g(x)≤g(1)．又g(1)＝a＋b＝f(1)－c，g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c，所以－f(－1)＋c≤g(x)≤f(1)－c，又－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，－1≤c≤1，所以－f(－1)＋c≥－2，f(1)－c≤2，所以－2≤g(x)≤2.当a＜0时，可用类似的方法，证得－2≤g(x)≤2.当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c，g(x)＝f(1)－c，所以－2≤g(x)≤2.综上所述，－2≤g(x)≤2.