2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1练习：第3章 导数及其应用3.1.1、3.1.2 W

第三章3.13.1.13.1.2A级基础巩固一、选择题1．(2016·山东枣庄高二月考)在物体运动变化过程中，自变量的改变量Δx的取值为导学号03624637(D)A．Δx0B．Δx0C．Δx＝0D．Δx≠0[解析]Δx可正也可负，但是不可以为0，故选D．2．对于函数y＝1x，当Δx＝1时，Δy的值是导学号03624638(D)A．1B．－1C．0D．不能确定[解析]函数值的改变量是指函数在某一点附近的改变量，因而要求Δy必须指明在哪一点处．3．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为导学号03624639(A)A．f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0ΔxB．f′(x0)＝limΔx→0[f(x0＋Δx)－f(x0)]C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)D．f′(x0)＝fx0＋Δx－fx0Δx[解析]B中limΔx→0[f(x0＋Δx)－f(x0)]表示函数值的变化量的极限；C中f(x0＋Δx)－f(x0)表示函数值的变化量；D中fx0＋Δx－fx0Δx表示函数的平均变化率．4．(2016·山西临汾高二质检)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是导学号03624640(D)A．－3B．3C．6D．－6[解析]当Δt趋近于0时，－3Δt－6趋近于－6，即t＝1时该质点的瞬时速度是－6.5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝导学号03624641(C)A．Δx－3B．(Δx)2－3ΔxC．－3D．0[解析]f′(0)＝limΔx→00＋Δx2－30＋Δx－02＋3×0Δx＝limΔx→0Δx2－3ΔxΔx＝limΔx→0(Δx－3)＝－3.故选C．6．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则导学号03624642(C)A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b[解析]∵f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0aΔx＋bΔx2Δx＝limΔx→0(a＋bΔx)＝a.∴f′(x0)＝a.二、填空题7．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，ΔyΔx＝__(Δx)2＋6Δx＋12__.导学号03624643[解析]∵Δy＝(2＋Δx)3－2－6＝(Δx)3＋6(Δx)2＋12Δx，∴ΔyΔx＝(Δx)2＋6Δx＋12.8．在自由落体运动中，物体位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式s＝12gt2(g＝9.8m/s2)，试估计t＝3s时物体下落的瞬时速度是__29.4_m/s__.导学号03624644[解析]从3s到(3＋Δt)s这段时间内位移的增量：Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝4.9(3＋Δt)2－4.9×32＝29.4Δt＋4.9(Δt)2，从而，ΔsΔt＝29.4＋4.9Δt.当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于29.4m/s.三、解答题9．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度.导学号03624645[解析]由于Δs＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)＝3Δt－4Δt－Δt2＝－Δt－Δt2，∴ΔsΔt＝－Δt－Δt2Δt＝－1－Δt.∴v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(－1－Δt)＝－1.∴物体在t＝2时的瞬时速度为－1.B级素养提升一、选择题1．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于导学号03624646(C)A．6＋ΔtB．12＋Δt＋9ΔtC．12＋2ΔtD．12[解析]ΔsΔt＝[23＋Δt2＋5]－2×32＋5Δt＝12＋2Δt.2．(2016·山东聊城高二月考)做直线运动的物体，其位移s和时间t的关系是：s＝3t－t2，则它的初速度是导学号03624647(B)A．0B．3C．－2D．3－2t[解析]初速度即为t＝0时的瞬时速度，ΔsΔt＝s0＋Δt－s0Δt＝3Δt－Δt2Δt＝3－Δt2.当Δt趋近于0时，ΔsΔt趋近于3，故它的初速度为3.3．(2016·浙江台州检测)若f(x)在x＝x0处存在导数，则limh→0fx0＋h－fx0h导学号03624648(B)A．与x0，h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0，h都无关[解析]由导数的定义可知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故选B．4．(2016·安徽淮北高二检测)设f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝导学号03624649(C)A．－1B．12C．1D．13[解析]∵f′(－1)＝limΔx→0f－1＋Δx－f－1Δx＝limΔx→0aΔx－13＋aΔx＝3a，∴3a＝3，解得a＝1.故选C．5．若limh→0fx0＋h－fx0h＝1，则limh→0fx0－h－fx02h＝导学号03624650(D)A．1B．－1C．12D．－12[解析]limh→0fx0－h－fx02h＝12limh→0fx0－h－fx0h＝12limh→0－fx0－h－fx0－h＝－12limh→0fx0－h－fx0－h＝－12.故选D．二、填空题6．已知物体的运动方程是S＝－4t2＋16t(S的单位为m；t的单位为s)，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为__0_m/s__.导学号03624651[解析]ΔS＝－4(2＋Δt)2＋16(2＋Δt)＋4×22－16×2＝－4Δt2，∴ΔSΔt＝－4Δt2Δt＝－4Δt，∴v＝limΔt→0ΔSΔt＝limΔt→0(－4Δt)＝0.∴物体在t＝2s时的瞬时速度为0m/s.7．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为28π3.导学号03624652[解析]∵Δy＝43π×23－43π×13＝28π3，∴ΔyΔx＝28π32－1＝28π3.三、解答题8．求函数f(x)＝3x－2x在x＝1处的导数.导学号03624653[解析]Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)－21＋Δx－1＝2＋3Δx－21＋Δx＝3Δx＋2Δx1＋Δx，ΔyΔx＝3Δx＋2Δx1＋ΔxΔx＝3＋21＋Δx，∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(3＋21＋Δx)＝5，∴f′(1)＝5.C级能力提高1．(北京高考)已知f(x)＝13x3＋2x＋1，则f′(－1)的值是__3__.导学号03624654[解析]f′(－1)＝limΔx→0f－1＋Δx－f－1Δx＝limΔx→013－1＋Δx3＋2－1＋Δx＋1－13×－13－2＋1Δx＝3.2．一物体的运动方程如下：(单位：m，时间：s)s＝3t2＋2t≥329＋3t－320≤t3.求：(1)物体在t∈[3,5]时的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度.导学号03624655[解析](1)∵物体在t∈[3,5]时的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]时的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t∈[3,5]时的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵物体在t＝0附近的平均变化率为ΔsΔt＝f0＋Δt－f0Δt＝29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32Δt＝3Δt－18，∴物体在t＝0处的瞬时变化率为limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3Δt－18)＝－18，即物体的初速度为－18m/s.(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．∵物体在t＝1附近的平均变化率为ΔsΔt＝f1＋Δt－f1Δt＝29＋3[1＋Δt－3]2－29－31－32Δt＝3Δt－12，∴物体在t＝1处的瞬时变化率为limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3Δt－12)＝－12，即物体在t＝1时的瞬时速率为－12m/s.