2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1练习：第2章 圆锥曲线与方程2.2.2 Word版含

第二章2.22.2.2A级基础巩固一、选择题1．以椭圆x216＋y29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为导学号03624480(C)A．x216－y248＝1B．y29－x227＝1C．x216－y248＝1或y29－x227＝1D．以上都不对[解析]当顶点为(±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝43，双曲线方程为x216－y248＝1；当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，b＝33，双曲线方程为y29－x227＝1.2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是导学号03624481(C)A．2B．22C．4D．42[解析]双曲线2x2－y2＝8化为标准形式为x24－y28＝1，∴a＝2，∴实轴长为2a＝4.3．(2017·全国Ⅱ文，5)若a1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是导学号03624482(C)A．(2，＋∞)B．(2，2)C．(1，2)D．(1,2)[解析]由题意得双曲线的离心率e＝a2＋1a.∴c2＝a2＋1a2＝1＋1a2.∵a1，∴01a21，∴11＋1a22，∴1e2.故选C．4．椭圆x234＋y2n2＝1和双曲线x2n2－y216＝1有共同的焦点，则实数n的值是导学号03624483(B)A．±5B．±3C．25D．9[解析]依题意，34－n2＝n2＋16，解得n＝±3，故答案为B．5．若实数k满足0k5，则曲线x216－y25－k＝1与曲线x216－k－y25＝1的导学号03624484(D)A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等[解析]∵0k5，∴两方程都表示双曲线，由双曲线中c2＝a2＋b2得其焦距相等，选D．6．以双曲线y2－x23＝1的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是导学号03624485(D)A．(x－2)2＋y2＝4B．x2＋(y－2)2＝2C．(x－2)2＋y2＝2D．x2＋(y－2)2＝4[解析]双曲线y2－x23＝1的焦点为(0，±2)，e＝2，故选D．二、填空题7．(2017·全国Ⅲ文，14)双曲线x2a2－y29＝1(a0)的一条渐近线方程为y＝35x，则a＝__5__.导学号03624486[解析]∵双曲线的标准方程x2a2－y29＝1(a0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±3ax.又双曲线的一条渐近线方程为y＝35x，∴a＝5.8．(2016·北京文)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(5，0)，则a＝__1__；b＝__2__.导学号03624487[解析]由题意知，渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知ba＝2，由c＝5，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1.三、解答题9．(1)求与椭圆x29＋y24＝1有公共焦点，且离心率e＝52的双曲线的方程；导学号03624488(2)求虚轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程．[解析](1)设双曲线的方程为x29－λ－y2λ－4＝1(4λ9)，则a2＝9－λ，b2＝λ－4，∴c2＝a2＋b2＝5，∵e＝52，∴e2＝c2a2＝59－λ＝54，解得λ＝5，∴所求双曲线的方程为x24－y2＝1.(2)由于无法确定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，所以可设双曲线标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．由题设知2b＝12，ca＝54且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.B级素养提升一、选择题1．已知方程ax2－ay2＝b，且a、b异号，则方程表示导学号03624489(D)A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线[解析]方程变形为x2ba－y2ba＝1，由a、b异号知ba0，故方程表示焦点在y轴上的双曲线，故答案为D．2．双曲线x2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是导学号03624490(C)A．m12B．m≥1C．m1D．m2[解析]本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解．双曲线离心率e＝1＋m2，所以m1，选C．3．(2015·全国卷Ⅰ理)已知M(x0，y0)是双曲线C：x22－y2＝1上的一点，F1、F2是C的两个焦点．若MF1→·MF2→0，则y0的取值范围是导学号03624491(A)A．(－33，33)B．(－36，36)C．(－223，223)D．(－233，233)[解析]由双曲线方程可知F1(－3，0)、F2(3，0)，∵MF1→·MF2→0，∴(－3－x0)(3－x0)＋(－y0)(－y0)0，即x20＋y20－30，∴2＋2y20＋y20－30，y2013，∴－33y033.4．(2016·重庆八中高二检测)双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线与圆(x－3)2＋(y－1)2＝1相切，则此双曲线的离心率为导学号03624492(B)A．5B．2C．3D．2[解析]双曲线的渐近线方程为y＝±bax，由题意得|3b－a|b2＋a2＝1，∴b＝3a.∴离心率e＝ca＝c2a2＝a2＋bba2＝a2＋3a2a2＝2.5．(2016·吉林实验中学)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是导学号03624493(C)A．1，52B．1，72C．52，＋∞D．72，＋∞[解析]由条件，得|OP|2＝2ab，又P为双曲线上一点，从而|OP|≥a，∴2ab≥a2，∴2b≥a，又∵c2＝a2＋b2≥a2＋a24＝54a2，∴e＝ca≥52.二、填空题6．已知双曲线x29－y2m＝1的一个焦点在圆x2＋y2－4x－5＝0上，则双曲线的渐近线方程为y＝±43x.导学号03624494[解析]∵方程表示双曲线，∴m0，∵a2＝9，b2＝m，∴c2＝a2＋b2＝9＋m，∴c＝9＋m，∵双曲线的一个焦点在圆上，∴9＋m是方程x2－4x－5＝0的根，∴9＋m＝5，∴m＝16，∴双曲线的渐近线方程为y＝±43x.7．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，则椭圆x2a2＋y2b2＝1的离心率e＝32.导学号03624495[解析]由条件知ba＝12，即a＝2b，∴c2＝a2－b2＝3b2，c＝3b，∴e＝ca＝3b2b＝32.三、解答题8．焦点在x轴上的双曲线过点P(42，－3)，且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程.导学号03624496[解析]因为双曲线焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，F1(－c,0)、F2(c,0)．因为双曲线过点P(42，－3)，所以32a2－9b2＝1.①又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，所以QF1→·QF2→＝0，即－c2＋25＝0.所以c2＝25.②又c2＝a2＋b2，③所以由①②③可解得a2＝16或a2＝50(舍去)．所以b2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x216－y29＝1.C级能力提高1．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为x24－y23＝1.导学号03624497[解析]椭圆中，a2＝16，b2＝9，∴c2＝a2－b2＝7，∴离心率e1＝74，焦点(±7，0)，∴双曲线的离心率e2＝ca＝72，焦点坐标为(±7，0)，∴c＝7，a＝2，从而b2＝c2－a2＝3，∴双曲线方程为x24－y23＝1.2．设双曲线x2a2－y2b2＝1(0ab)的半焦距为c，直线l过(a,0)、(0，b)两点，且原点到直线l的距离为34c，求双曲线的离心率.导学号03624498[解析]由l过两点(a,0)、(0，b)，得l的方程为bx＋ay－ab＝0.由原点到l的距离为34c，得aba2＋b2＝34c.将b＝c2－a2代入，平方后整理，得16a2c22－16×a2c2＋3＝0.令a2c2＝x，则16x2－16x＋3＝0，解得x＝34或x＝14.由e＝ca有e＝1x.故e＝233或e＝2.因0ab，故e＝ca＝a2＋b2a＝1＋b2a22，所以应舍去e＝233，故所求离心率e＝2.