群论-1-群论基础

物理学中的群论主讲翦知渐——群论基础群论教材：自编参考书：群论及其在固体物理中的应用（徐婉棠）物理学中的群论（马中骐）物理学中的群论基础（约什）教材与参考书群论物理学中的群论第五章群论在量子力学中的应用第一章群论基础第二章晶体对称群第三章群表示理论第四章三维转动群群论-群论基础§1.5正规子群和商群§1.6直积和半直积§1.7对称群群的基本概念和基本性质§1.8置换群§1.1集合与运算§1.2群的定义和基本性质§1.3子群及其陪集§1.4群的共轭元素类第一章群论基础§0绪论群论的发展历史群论在数学中的作用我们为什么要学习群论群论-群论基础-集合与运算§1.1集合与运算抽象代数的基本概念集合的乘积：直积内积集合：抽象代数研究的对象集合的势1集合群论-群论基础-集合与运算返回定义：设A与B是两个集合，若有一种规则f，使得A的每一个元素在B上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f就称为A到B的一个映射，记为f：A→B或写为f：x→y=f(x),式中y称为x在B上的象，而x称为y在A上的原象。对应规则：与函数的比较2映射群论-群论基础-集合与运算变换：体系A的一个自身映射f称为A的一个变换若f是一一映射，则称为对称变换一一变换有性质：ff-1=f-1f=e满射单射一一映射逆映射：f-1恒等映射：e群论-群论基础-集合与运算定义：若对A上的每一对有序元(a,b)，在A上有唯一确定的c与之对应，即有一规则R使得A×A→A，则R称为A上的一个二元运算，记为R：A×A→A，或R：(a,b)→c=R(a,b)一般记为c=a·b，或c=ab。二元运算一般也称为“乘法”——数值加法数值乘法对称操作……3二元运算集合的所有代数性质都由其乘法结果决定群论-群论基础-集合与运算mAklOBCeabklmeeabklmaabemklbbealmkkklmeabllmkbeammklabeD3乘法表：有限集群论-群论基础-集合与运算设A和B是两个不同集合，其中分别定义了乘法·和×；若有满射f，使得对于yi=f(xi),yj=f(xj)来说有f(xi·xj)=f(xi)×f(xj)——即像的乘积=乘积的像则称f为A到B的同态，记为A~B4同态与同构群论-群论基础-集合与运算物理上，同构的集合有分别：G={e,c2}和G'={e,ci}→1:1同构：乘法表完全一样的结构，只是换了记录的符号数学上，同构即是同一例如：G={e=a4,a,a2,a3}→G'={1,i,-1,-i}同态映射若是一一映射→同构：A=B群论-群论基础-集合与运算例如：G={e,a,a2,a3}→G′={1,-1}——二对一的同态→4:1同态：A到B的等比例缩小——保持乘法结构：f(xi·xj)=f(xi)×f(xj)设f(xi)=y（i=1,2…,l），则对于所有的i，有f(xi·x)=f(xi)×f(x)=y×f(x)→所有的xi·x对应于同一个元群论-群论基础-集合与运算§1.2群的定义和基本性质什么是群？G={e,g2,…,gi,…}是一个集合，其中定义了乘法。如果对于所定义的乘法，以下四个条件成立，则集合G称为群：1)闭合律：gigj∈G,∀gi,gj∈G2)结合律：gi(gjgk)=(gigj)gk,∀gi,gj,gk∈G3)存在单位元：gie=egi=gi,∀gi∈G4)存在逆元素：∀gi∈G，∃gi-1∈G，使得gigi-1=gi-1gi=e广群，半群，幺半群1定义群论-群论基础-集合与运算1){1}：只含一个元素的群,1即是单位元e。2){1，-1}：这个集合对普通乘法构成一个群。{e，I}：e为恒等操作，I为反演操作；乘法：变换合成。3){1，i，-1，-i}：四个元素的集合对普通数值乘法构成群。{e,a,b,c}：乘法定义为：a2=b2=c2=e,ab=c,bc=a,ca=b，其中乘法可交换次序。4)全体实数对普通加法构成群。除0之外的所有实数对普通乘法构成群。5)全体n阶非奇异方矩阵的集合对矩阵的乘法构成群。6)D3群。2群的例子群论-群论基础-集合与运算1)阿贝尔群：交换群2)有限群：可给出群表3)无限群：离散群，连续群4)群元素的阶：gn=e群阶：|G|5)生成元：通过乘法产生群G的最小子集6)循环群：一个生成元3一些基本概念群论-群论基础-集合与运算设G={gi}是一个群∀gi,gj∈G,方程gix=gj，xgi=gj有唯一解(gi-1)-1=gi(gigj)-1=gj-1gi-1单位元唯一；逆元素唯一若群G={e,g2,…,gi,…}与群G'={e',g'2,…,g'j,…}同态或同构，则：G的单位元e的象是G'的单位元e'∀g∈G，设g的象是g'，则g的逆元g-1的象是g'-14一些基本性质群论-群论基础-集合与运算设G是一个N阶群，则G的每一个元素在群表的每一行以及每一列中出现且只出现一次。若f是群元的任意函数，则有推论11,NNiiiifgfxgxG定理1.1有限群重排定理群论-群论基础-集合与运算设H为G的一个子集，若它对G的乘法构成群，则称H为G的子群§1.3子群及其陪集平凡子群，真子群判别方法：符合以下两个条件的G的子集H是G的子群：若∀gi,gj∈H，有gigj∈H若∀gi∈H，则gi-1∈H对于有限群，只要满足第一个条件，即乘法的封闭性，就可证明H是G的子群。1子群群论-群论基础-子群及其陪集设H={e,h2,…,hm}是G的一个子群，对于某个元素g∈G，集合gH={g,gh2,…,ghm}称为H的一个左陪集。陪集的代表元若某个q∈gH，则有qH=gH（因q=ghi）——陪集中任意元形成的陪集相同，或者说陪集中任意元可作为此陪集的“代表元”右陪集：H的右陪集和左陪集有同样的性质。左陪集qH和右陪集Hq不一定相等。2陪集群论-群论基础-子群及其陪集根据陪集的性质，可以得到结论：任意两个左陪集xH和yH，要么完全相同，要么完全不同母群的每个元素都一定在子群的某个陪集中；每个陪集的元素个数相同；所有陪集要么没有公共元，要么全同——所以母群一定可以划分为子群的不同陪集的集合3拉格朗日定理H的所有左陪集都包含有相同数目的元素若g∈H，则gH=H；若g∉H，则gH∩H=∅群论-群论基础-子群及其陪集定理1.2拉格朗日定理：设H是G的一个子群，则G的阶|G|一定是H的阶|H|的整数倍，即|G|=k|H|。其中k是正整数，称为H在G中的指数，实际上也就是G中含H的陪集数。推论（定理1.2的推论）：若群G的阶为素数时，G没有真子群，而且G必为循环群。群论-群论基础-子群及其陪集H1={e,a,b}例：D3只有三阶子群和二阶子群，即H1和H2H2={e,k}左陪集（两个）右陪集（两个）eH1=aH1=bH1={e，a，b}H1e=H1a=H1b={e，a，b}kH1=lH1=mH1={k，l，m}H1k=H1l=H1m={k，l，m}左陪集（三个）右陪集（三个）eH2=kH2={e，k}H2e=H2k={e，k}aH2=mH2={a，m}H2a=H2l={a，l}bH2=lH2={b，l}H2b=H2m={b，m}群论-群论基础-子群及其陪集群论-群论基础-共轭元素类设g是G的一个元素，∀x∈G，元素g'=xgx-1称为g的共轭元素，而g和g'具有共轭关系。§1.4共轭元素类如果G是矩阵群，则共轭关系就是相似变换，共轭元素就是相似矩阵。自反性：即G的任一元素与自身共轭对称性：即gi是gj的共轭元素，则gj也是gi的共轭元素传递性：若gi与gj共轭，而gj与gk共轭，则gi也是gk的共轭元素——共轭关系是一种等价关系等价关系联系起来的内部结构1共轭关系群论-群论基础-共轭元素类G中所有相互共轭的元素构成的集合，称为共轭类设g′是gi的共轭元素，即存在x∈G，使得g′=xgix-1。当x走遍G的所有元素时，所有不同的g′构成的G的子集，称为G中含gi的共轭类，记为Ci={g1,g2,…,gm}同类元素有相同的阶。直接验证即可。两个类不能有公共元素，否则它们是同一个类。根据共轭关系的传递性可知，若两个类有公共元素，则这两个类的所有元素都是相互共轭的，自然组成一个类。2共轭类群论-群论基础-共轭元素类单位元自成一类单位元可与任何元素交换乘积次序阿贝尔群的所有元素各成一类；循环群等，群元乘积可交换次序矩阵群：共轭关系对于矩阵是相似变换，而矩阵的相似变换不改变矩阵的迹，相似矩阵有相同的迹，所以同一个类的矩阵有相同的迹群论-群论基础-共轭元素类群G中任何一个类Ci满足：∀x∈G，xCix-1=Ci。因为所有形如xgix-1的元素都是共轭的，而且每个都互不相同，个数与Ci中一样，所以xCix-1=Ci。逆类：若Ci={g1,g2,…,gm}是群G的一个共轭类，集合Ci'={g1-1,g2-1,…,gm-1}也是G的一个共轭类，称为Ci的逆类。设gi,gj∈Ci，有xgix-1=gj，所以可以得到(xgix-1)-1=(gj)-1——也就是说xgi-1x-1=gj-1，可见gi-1和gj-1也属于一个类。又因为xCix-1=Ci，所以有xCi’x-1=(xCix-1)-1=Ci-1=Ci’，∀x∈G成立，——所以Ci'是G的一个类，称为Ci的逆类。可以把群分解为不相交的共轭类的并集：G=C1∪C2…∪Cl式中Ci为第i个共轭类，G按共轭关系分成l个不同的类。群论-群论基础-共轭元素类D3群的共轭类D3群有三个共轭类：C1={e}，C2={a,b}，C3={k,l,m}。因为a,b代表旋转120°（即360°/3），称之为绕3次轴的旋转，记为c3；k,l,m代表旋转180°（即360°/2），称之为绕2次轴的旋转，记为c2；故可以写为：C1={e}，C2={2c3}，C3={3c2}一般对于群元，可以按共轭类记之，如：D3={e,2c3,3c2}群论-群论基础-共轭元素类定理1.3若Λ是群中若干个完整的类构成的集合：Λ=C1+C2+…=ΣkCk，x是群中任意元，则有xΛx-1=Λ成立。只需要注意到，对每一个Ci都有xCix-1=Ci，则命题得证。逆定理：任何一个满足关系xΛx-1=Λ，∀x∈G成立的集合Λ，必然由若干个完整的类构成。证明：首先将Λ中完整的类抽出。设余下的元的集合是Λ'，于是有xΛ'x-1=Λ'，∀x∈G成立考虑Λ'中的某个元g，我们发现等式左边将包含g的所有共轭元，因此等式右边的Λ'一定是一个完整的类。3几个定理设Ci={a1,a2,…,am}和Cj={b1,b2,…,bn}为群G的两个类，对于共轭类的直乘来说Ci×Cj={a1b1,a2b1,…,amb1,a1b2,a2b2,…,amb2,…,ambn}有：其中求和是对群中所有的共轭类求和，而系数为非负整数，表示类Ck在Ci×Cj中出现的次数。证明：根据上一个定理，我们有xCix-1=Ci，xCjx-1=Cj故Ci×Cj=xCix-1xCjx-1=xCi×Cjx-1它对所有x∈G成立，根据上一个定理的逆定理：集合Ci×Cj必然由一些完整的类构成。kijijkkCCcCkijc例：D3群有三个类，D3={e,2c3,3c2}={C1,C2,C3}，则可得C1×C2=C2；C1×C3=C3；C2×C3=2C3；C2×C2=2C1+C3；C3×C3=3C1+3C2群论-群论基础-共轭元素类定理1.4类元素数目定理：对于有限群G，每一个共轭类Ci的元素的个数|Ci|是|G|的一个因子。证明：设g∈G，构造集合Hg={h∈G|hgh-1=g}易证它是G的一个子群。共轭于g的元素组成共轭类Cg，其中元素的个数为：当q取遍G中所有元素时，从qgq-1中能得到的不同元素的个数——可证这是Hg的左陪集的个数群论-群论基础-共轭元素类1)对Hg的一个陪集qHg来说，其中任何一个元素qh得到的共轭元为(qh)g(qh)-1=qhgh-1q-1=qgq-1是相同的2)对两个不同的陪集q1Hg和q2Hg来说，它们得到的共轭元是不同的，如果相同，则