2021-2022学年高一上数学期末检测试卷

第1页共9页2021-2022学年高一上数学期末检测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．幂函数f(x)＝xa的图象经过点(2,4)，则f－12等于()A.12B.14C．－14D．2答案B解析幂函数f(x)＝xa的图象经过点(2,4)，则2a＝4，解得a＝2，∴f(x)＝x2，∴f－12＝－122＝14.2．计算1－2sin222.5°的结果等于()A.12B.22C.33D.32答案B解析由余弦的二倍角公式得1－2sin222.5°＝cos45°＝22.3．已知集合A＝{x|x2－2x－30}，B＝{x|x≥0}，则A∩B等于()A．(－1,3)B．[0,3)C．(－1,0]D．(－1,2]答案B解析因为A＝{x|x2－2x－30}＝(－1,3)，所以A∩B＝[0,3)．4．函数f(x)＝xx－1－lnx的定义域为()A．{x|x0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1或x0}D．{x|0x≤1}答案B解析因为f(x)有意义，则xx－1≥0，x0，解得x≥1，所以f(x)的定义域为{x|x≥1}．5．命题“∀x∈R，sinx＋1≥0”的否定是()A．∃x∈R，sinx＋10第2页共9页B．∀x∈R，sinx＋10C．∃x∈R，sinx＋1≥0D．∀x∈R，sinx＋1≤0答案A解析全称量词命题的否定是把全称量词改为存在量词，并否定结论，则原命题的否定为“∃x∈R，sinx＋10”．6．已知sinα＝35，π2α3π2，则sin5π2－α等于()A．－45B.45C．－35D.35答案A解析sinα＝35，π2α3π2，∴π2απ，则sin5π2－α＝sinπ2－α＝cosα＝－1－sin2α＝－45.7．已知a，b∈R，条件甲：ab0；条件乙：1a1b，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案A解析条件乙：1a1b，即为1a－1b0⇔b－aab0，若条件甲：ab0成立则条件乙一定成立；反之，当条件乙成立，则b0a也可以，但是此时不满足条件甲：ab0，所以甲是乙成立的充分不必要条件．8．设函数f(x)＝log21－x，x0，22x－1，x≥0，则f(－3)＋f(log23)等于()A.112B.132C.152D．10答案B解析根据题意，函数f(x)＝log21－x，x0，22x－1，x≥0，f(－3)＝log24＝2，f(log23)＝22log312－＝92，则f(－3)＋f(log23)＝2＋92＝132.第3页共9页9．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0,0≤φ≤2π)的部分图象如图所示，则f(x)满足()A．f(x)＝sinπ6x＋π6B．f(x)＝5sinπ3x＋π6C．f(x)＝5sinπ6x＋56πD．f(x)＝5sinπ6x＋π6答案D解析由函数的图象可得A＝5，周期T＝2πω＝11－(－1)＝12，∴ω＝π6.再由五点法作图可得π6×(－1)＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ＋π6，k∈Z，∵0≤φ≤2π，∴φ＝π6，故函数f(x)＝5sinπ6x＋π6.10．已知x∈(0，π)，则f(x)＝cos2x＋2sinx的值域为()A.－1，12B.1，32C.22，2D．(0,22)答案B解析因为x∈(0，π)，所以sinx∈(0,1]，由f(x)＝cos2x＋2sinx，得f(x)＝－2sin2x＋2sinx＋1＝－2sinx－122＋32，所以f(x)∈1，32.11．内接于半径为R的圆的矩形的周长的最大值为()A．22RB．2RC．42RD．4R答案C第4页共9页解析设矩形对角线与某一边的夹角为θ，由题意可得矩形的边长分别为：2Rcosθ，2Rsinθ0θπ2，则矩形的周长为l＝2×(2Rcosθ＋2Rsinθ)＝42Rsinθ＋π4，结合三角函数的性质可知，当sinθ＋π4＝1，即θ＝π4，即矩形为正方形时，周长取得最大值：lmax＝42R.12．已知f(x)＝loga|x＋b|是偶函数，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系为()A．f(b－2)＝f(a＋1)B．f(b－2)f(a＋1)C．f(b－2)f(a＋1)D．不能确定答案C解析∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0，此时f(x)＝loga|x|.当a1时，函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，∴f(a＋1)f(2)＝f(b－2)；当0a1时，函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上是减函数，∴f(a＋1)f(2)＝f(b－2)．综上可知f(b－2)f(a＋1)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)＝12x，则f(3)的值是________．答案－8解析因为f(－3)＝12－3＝8，又函数f(x)是奇函数，所以f(3)＝－f(－3)＝－8.14．eln2＋138＋lg20－lg2＝________.答案5解析根据指数和对数的运算公式得到：原式＝2＋2＋lg10＝5.15．已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝________.答案0第5页共9页解析由f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，f(1－x)＝f(1＋x)即有f(x＋2)＝f(－x)，即f(x＋2)＝－f(x)，进而得到f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)为周期为4的函数，若f(1)＝2，可得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(2)＝f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，可得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝504×0＋2＋0－2＝0.16．函数f(x)＝sin2x－3(cos2x－sin2x)的图象为C，如下结论正确的有________．①f(x)的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有fx＋π6＋fπ6－x＝0；③f(x)在－π12，5π12上是增函数；④由y＝2sin2x的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C.答案①②③解析f(x)＝sin2x－3(cos2x－sin2x)＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3，①f(x)的最小正周期为2π2＝π，故①正确；②fπ6＝2sin2×π6－π3＝2sin0＝0，即函数关于π6，0对称，即对任意的x∈R，都有fx＋π6＋fπ6－x＝0成立，故②正确；③x∈－π12，5π12时，2x∈－π6，5π6，2x－π3∈－π2，π2，此时函数为增函数，即f(x)在－π12，5π12上是增函数，故③正确；④由y＝2sin2x的图象向右平移π3个单位长度得到y＝2sin2x－π3＝2sin2x－2π3，故④错误，故正确的是①②③.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x1}．(1)分别求A∩B，(∁RB)∪A；第6页共9页(2)已知集合C＝{x|1xa}，若C⊆A，求实数a的取值集合．解(1)因为3≤3x≤27，即31≤3x≤33，所以1≤x≤3，所以A＝{x|1≤x≤3}，因为log2x1，即log2xlog22，所以x2，所以B＝{x|x2}，所以A∩B＝{x|2x≤3}．∁RB＝{x|x≤2}，所以(∁RB)∪A＝{x|x≤3}．(2)由(1)知A＝{x|1≤x≤3}，若C⊆A，则①当C为空集时，a≤1.②当C为非空集合时，可得1a≤3.综上所述，a的取值集合为{a|a≤3}．18．(12分)已知函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期与对称中心；(2)求函数f(x)的单调递增区间．解(1)函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx＝1－cos2x2＋32sin2x＝sin2x－π6＋12，所以函数的最小正周期为2π2＝π，令2x－π6＝kπ(k∈Z)，解得x＝kπ2＋π12(k∈Z)，所以函数的对称中心为kπ2＋π12，12(k∈Z)．(2)由于f(x)＝sin2x－π6＋12，令－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，解得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为－π6＋kπ，π3＋kπ(k∈Z)．19．(12分)已知函数f(x)＝log3(3x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)若不等式f(x)－12x－a≥0对x∈(－∞，0]恒成立，求实数a的取值范围．解(1)因为y＝f(x)为偶函数，且定义域为R，所以∀x∈R，f(－x)＝f(x)，第7页共9页即log3(3－x＋1)－kx＝log3(3x＋1)＋kx对∀x∈R恒成立．于是2kx＝log3(3－x＋1)－log3(3x＋1)＝log33－x＋13x＋1＝log33－x＝－x恒成立，而x不恒为零，所以k＝－12.(2)因为不等式f(x)－12x－a≥0在区间(－∞，0]上恒成立，即a≤log3(3x＋1)－x在区间(－∞，0]上恒成立，令g(x)＝log3(3x＋1)－x＝log31＋13x，x∈(－∞，0]，因为1＋13x≥2，所以g(x)＝log31＋13x≥log32，所以a≤log32，所以a的取值范围是(－∞，log32]．20．(12分)已知函数f(x)＝x2－ax＋3.(1)若f(x)≤－3的解集为[b,3]，求实数a，b的值；(2)当x∈12，＋∞时，若关于x的不等式f(x)≥1－x2恒成立，求实数a的取值范围．解(1)因为f(x)≤－3即x2－ax＋6≤0的解集为[b,3]，所以b,3是一元二次方程x2－ax＋6＝0的两根，所以b＋3＝a，3b＝6，解得a＝5，b＝2.(2)当x∈12，＋∞时，若关于x的不等式f(x)≥1－x2恒成立，即a≤2x＋2x在x∈12，＋∞时恒成立，令g(x)＝2x＋2x，x≥12，则a≤g(x)min，∵2x＋2x≥22x·2x＝4，当且仅当x＝1时取等号．故a≤4.21．(12分)为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2018年在其扶贫基地投入100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%.(1)写出第x年(2019年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式，并指出函数第8页共9页的定义域；(2)该企业从第几年开始(2019年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万元？(参考数据lg0.11≈－0.959，lg1.1≈0.041，lg11≈1.041，lg2≈0.301)解(1)第一年投入的资金数为100(1＋10%)万元，第二年投入的资金数为100(1＋10%)＋100(1＋10%)10%＝100(1＋10%)2万元，第x年(2019年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式y＝100(1＋10%)x万元，其定义域为{x∈N*|x≤10}．(2)由100(1＋10%)x200，可得1.1x2，即xlg2lg1.1≈0.3010.041≈7.3，即企业从第8年开始(2019年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万元．22．(12分)已知函数f(x)＝2sinωx·(cosω