高二数学选修2-1空间向量试卷及答案

AA1DCBB1C1图高二数学（选修2-1）空间向量试题宝鸡铁一中司婷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）．1．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．105°D．75°2．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝411BA，则BE1与DF1所成角的余弦值是（）A．1715B．21C．178D．233．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．1030B．21C．1530D．10154．正四棱锥SABCD的高2SO，底边长2AB，则异面直线BD和SC之间的距离（）A．515B．55C．552D．1055．已知111ABCABC是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱1CC的中点．点1C到平面1ABD的距离（）A．a42B．a82图图C．a423D．a226．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，则平面1ABC与平面11ACD间的距离（）A．63B．33C．332D．237．在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝21PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值（）A．621B．338C60210D．302108．在直三棱柱111CBAABC中，底面是等腰直角三角形，90ACB，侧棱21AA，D，E分别是1CC与BA1的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G．则BA1与平面ABD所成角的余弦值（）A．32B．37C．23D．739．正三棱柱111CBAABC的底面边长为3，侧棱3231AA，D是CB延长线上一点，且BCBD，则二面角BADB1的大小（）A．3B．6C．65D．3210．正四棱柱1111DCBAABCD中，底面边长为22，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，GBDEF．则三棱锥11EFDB的体积V（）A．66B．3316C．316D．1611．有以下命题：①如果向量ba,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么ba,的关系是不共线；②,,,OABC为空间四点，且向量OCOBOA,,不构成空间的一个基底，则点,,,OABC一定共面；③已知向量cba,,是空间的一个基底，则向量cbaba,,也是空间的一个基底。其中正确的命题是：（）（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③12.如图：在平行六面体1111DCBAABCD中，M为11CA与11DB的交点。若aAB，bAD，cAA1则下列向量中与BM相等的向量是（）（A）cba2121(B)cba2121（C）cba2121（D）cba2121二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共30分）．13．已知向量(0,1,1)a，(4,1,0)b，||29ab且0，则=____________.14．在正方体1111ABCDABCD中，E为11AB的中点，则异面直线1DE和1BC间的距离．15．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，E、F分别是11AB、CD的中点，求点B到截面1AECF的距离．16．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离．17．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共60分）．18．（15分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小19．（15分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF∥平面B1MC．20．（15分）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．MC1CB1D1A1ABD（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．21．（15分）已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D的中点．（1）求证：E、F、D、B共面；（2）求点A1到平面的BDEF的距离；（3）求直线A1D与平面BDEF所成的角．参考答案一、1．C；2．A；3．B；4．A；5．A；6．C；7．A；8．B；9．D；10．B；11．A；12．C；二、13．314．26315．3616．1；17．510三、18．解：如图建立空间直角坐标系，11CA＝（－1，1，0），BA1＝（0，1，－1）设1n、2n分别是平面A1BC1与平面ABCD的法向量，由011BAn可解得1n＝（1，1，1）0111CAn易知2n＝（0，0，1），所以，212121,cosnnnnnn＝33所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角大小为arccos33或－arccos33．zyxD1A1DB1C1CBA19．证明：如图建立空间直角坐标系，则11CA＝（－1，1，0），CB1＝（－1，0，－1）DA1＝（1，0，1），AB1＝（0，－1，－1）设111CAEA，DAFA11，ABMB11（、、R，且均不为0）设1n、2n分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，由011EAn可得0111CAn即0111CAn011FAn011DAn011DAn解得：1n＝（1，1，－1）由012MBn可得012ABn即012ABn012CBn012CBn012CBn解得2n＝（－1，1，－1），所以1n＝－2n，1n∥2n，所以平面A1EF∥平面B1MC．20．（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD．又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，故BE⊥PD．（2）解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为（a，a，0），（0，2a，0）．∵PA⊥平面ABCD，∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDA=30°．于是，在Rt△AED中，由AD=2a，得AE=a．过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，由AE=a，∠EAF=60°，得AF=2a，EF=23a，∴E（0，23,21aa）于是，CDaaAE},23,21,0{={－a，a，0}设AE与CD的夹角为θ，则由FyEMxzD1C1B1A1CDBAcosθ=||||CDAECDAE420)()23()21(002321)(0222222aaaaaaaaAE与CD所成角的余弦值为42．21．解：（1）略．（2）如图，建立空间直角坐标系D—xyz,则知B（1，1，0），).1,21,0(),1,1,21(FE设.),,(的法向量是平面BDEFzyxn)1,21,0(),0,1,1(,,DFDBDFnDBn由得0210zyDFnyxDBn则.21yzyx令)21,1,1(,1ny得．设点A1在平面BDFE上的射影为H，连结A1D，知A1D是平面BDFE的斜线段．.23)21)(1(10)1)(1(),1,0,1(1nADDA.1222,cos||||.2223223||||,cos,23)21(1)1(||,2)1()1(||111111112222221HADADAHAnDAnDAHADAnODA又即点A1到平面BDFE的距离为1．（3）由（2）知，A1H=1，又A1D=2，则△A1HD为等腰直角三角形，4511HDADHA.45,,,11111DHABDFEDADHABDFEDAHDBDFEHA所成的角与平面就是直线上的射影在平面是平面