2011中山市高二期末统考数学试卷及答案(理科)

xyO'()yfx34-2-4广东省中山市2010—2011学年度第一学期期末统一考试高二数学试卷（理科）本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。第I卷（选择题共40分）注意事项：1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。3、不可以使用计算器。4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．不等式25xx的解集是A．[0,5]B．[5,)C．(,0]D．(,0][5,)2．已知一个数列的前四项为22221357,,,24816，则它的一个通项公式为A．221(1)(2)nnnB．1221(1)(2)nnnC．221(1)2nnnD．1221(1)2nnn3．椭圆221625400xy的离心率为A．35B．45C．34D．16254．函数f(x)的导函数'()fx的图象如右图所示，则下列说法正确的是A．函数()fx在(2,3)内单调递增B．函数()fx在(4,0)内单调递减C．函数()fx在3x处取极大值D．函数()fx在4x处取极小值5．等差数列{}na的前n项和12...nnSaaa，若1031S，20122S，则40S=A．182B．242C．273D．4846．长为3.5m的木棒斜靠在石堤旁，木棒的一端在离堤足1.4m的地面上，另一端在沿堤上2.8m的地方，堤对地面的倾斜角为，则坡度值tan等于A．2315B．516C．23116D．1157．已知0,0ab，且1ab，则11abab的最小值是A．2B．22C．174D．88．已知p：函数2()1fxxmx有两个零点，q：xR，244(2)10xmx．若pq为真，pq为假，则实数m的取值范围为A．(,2)[3,)B．(,2)(1,2][3,)C．(1,2][3,)D．(,2)(1,2]第II卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中的横线上）9．等差数列8，5，2，…的第30项是.10．经过点(1,3)A，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为.11．当xy、满足不等式组11yxyxy时，目标函数2txy的最小值是.12．圆222()()xaybr经过原点的一个充要条件是.13．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线24yx上，则这个正三角形的边长为.14．物体沿直线运动过程中，位移s与时间t的关系式是2()3sttt.我们计算在t时刻的附近区间[,]ttt内的平均速度()()sttstvt，当t趋近于0时，平均速度v趋近于确定的值，即瞬时速度，由此可得到t时刻的瞬时速度为.三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）15．（13分）等比数列{}na的公比为q，第8项是第2项与第5项的等差中项.（1）求公比q；（2）若{}na的前n项和为nS，判断396,,SSS是否成等差数列，并说明理由.16．（13分）已知某精密仪器生产总成本C（单位：万元）与月产量x（单位：台）的函数关系为1004Cx，月最高产量为150台，出厂单价p（单位：万元）与月产量x的函数关系为21125801800pxx.（1）求月利润L与产量x的函数关系式()Lx；（2）求月产量x为何值时，月利润()Lx最大？最大月利润是多少？17．（13分）第四届中国国际航空航天博览会于2010年11月在珠海举行，一次飞行表演中，一架直升飞机在海拔800m的高度飞行，从空中A处测出前下方海岛两侧海岸P、Q处的俯角分别是45°和30°（如右图所示）.（1）试计算这个海岛的宽度PQ.（2）若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸P、Q处同时测得飞机的仰角为45和30，他们估计P、Q两处距离大约为600m，由此试估算出观测者甲（在P处）到飞机的直线距离.18．（14分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中,BAADCDAD，2,CDADABPA底面ABCD，E是PC的中点．（1）试用,,ADAPAB表示BE，并判断直线BE与平面PAD的位置关系；（2）若BE平面PCD，求异面直线PD与BC所成角的余弦值．19．（14分）已知函数3221()(2)3fxxaxaax，aR.（1）当2a时，求()fx在闭区间1,1上的最大值与最小值；（2）若线段AB：2302yxx与导函数()yfx的图像只有一个交点，且交点在线段AB的内部，试求a的取值范围．20．（13分）过直角坐标平面xOy中的抛物线220ypxp的焦点F作一条倾斜角为4的直线与抛物线相交于A、B两点.（1）求直线AB的方程；（2）试用p表示A、B之间的距离；（3）证明：AOB的大小是与p无关的定值.参考公式：2222224AABBABABABxyxyxxxxpxxp中山市高二级2010—2011学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）答案一、选择题：DDABDACB二、填空题：9.－79；10.22188yx；11.－3；12.222abr；13.83；14.613tt，61t.三、解答题：15.解：（1）由题可知，8252aaa，……（1分）即741112aqaqaq，……（3分）由于10aq，化简得6321qq，即63210qq，……（4分）解得31q或312q.所以1q或342q.……（6分）（2）当1q时，3191613,9,6SaSaSa.易知396,,SSS不能构成等差数列.……（8分）当342q即312q时，31113(1)13(1)11221aqaaSqqq，931119(1)19[1()]11281aqaaSqqq，621116(1)13[1()]11241aqaaSqqq.（11分）易知3692SSS，所以396,,SSS能构成等差数列.……（13分）16.解：（1）2321111()(25)(1004)21100801800180080LxpxCxxxxxxx，其中0150x.……（4分）（2）221111'()21(1512600)(120)(105)60040600600Lxxxxxxx.…（6分）令'()0Lx，解得120x（105x舍）.……（7分）当(0,120)x时，'()0Lx；当(120,150]x时，'()0Lx.……（9分）因此，当120x时，()Lx取最大值.…（10分）所以，月产量为120台时，月利润()Lx最大，最大月利润为(120)1640L万元.…（13分）xzy17.解：（1）在RtACP中，tanPCCAPAC，则800tan45800PC.……（3分）在RtACQ中，tanQCCAQAC，则800tan608003QC.……（5分）所以，8003800PQQCPC（m）.……（6分）（2）在APQ中，600PQ，30AQP，453015PAQ.……（7分）根据正弦定理，得600sin30sin15PA，……（9分）则600sin30600sin30300300(62)sin(4530)sin45cos30cos45sin30624PA.…（13分）18.解：设,ABaPAb，建立如图所示空间直角坐标系，(0,0,0),(,0,0)ABa，(0,0,)Pb,(2,2,0),(0,2,0)CaaDa，(,,)2bEaa.……（2分）（1）(0,,)2bBEa，(0,2,0),(0,0,)ADaAPb，所以1122BEADAP，……（5分）BE平面PAD，//BE平面PAD.……（7分）（2）BE平面PCD，BEPC，即0BEPC.(2,2,)PCaab，22202bBEPCa，即2ba.……（10分）(0,2,2),(,2,0)PDaaBCaa，……（11分）2410cos,5225aPDBCaa，所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为105.……（14分）19.解：（1）当2a时，321()23fxxx.……（1分）求导得2()4(4)fxxxxx.……（2分）令()0fx，解得：4x或0x．……（3分）列表如下：……（6分）x－1（-1，0）0（0，1）1()fx－0+()fx53↘0↗73所以，()fx在闭区间1,1上的最大值是73，最小值是0．……（7分）（2）22()22yfxxaxaa.……（8分）联立方程组2222,23.yxaxaayx……（9分）得2221230.xaxaa……（10分）设22()2(1)23gxxaxaa，则方程()0gx在区间0,2内只有一根,相当于(0)(2)0gg，即2223230,aaaa……（12分）解得31a或13a.……（14分）20.解：（1）焦点(,0)2pF，过抛物线焦点且倾斜角为4的直线方程是2pyx.…（3分）（2）由222ypxpyx22304pxpx23,4ABABpxxpxx4ABABxxpp.……（8分）（3）2222222222222cos22AABBABABAABBAOBOABxyxyxxyyAOBAOBOxyxy2222222341244124ABABABABABABABAABBppxxxxxxyyxxxxpxxpxyxy.……（12分）∴AOB的大小是与p无关的定值.……（13分）1题：教材《必修⑤》P76预备题改编，考查一元二次不等式求解.2题：教材《必修⑤》P672（2）改编，考查写数列通项公式.3题：教材《选修1-1》P40例4改编，考查椭圆几何性质.4题：教材《选修1-1》P98第4题改编，考查利用导数研究函数性质.5题：教材《必修⑤》P44例2改编，考查等差数列性质及前n项和6题：教材《必修⑤》P16习题改编，考查利用余弦定理解三角形9题：教材《必修⑤》P38例1（1）改编，考查等差数列通项公式10题：教材《选修1-1》P54A组第6题改编，考查双曲线方程与性质11题：教材《必修⑤》P91第1(1)题改编，考查线性规划问题12题：教材《选修1-1》P12第4题改编，考查充要条件.13题：教材《选修1-1》P64B组第2题改编，考查抛物线方程及性质14题：教材《选修1-1》P74导数概念的预备题改编，考查导数概念15题：教材《必修⑤》P61第6题改编，考查等差数列、等比数列的通项与前n项和.16题：教材《选修1-1》P104第6题改编，考查导数的应用.17题：教材《必修⑤》P19第4题改编，考查解三角形.