数理经济学-课件

数理经济学授课教材、大纲与内容其它参考书：1、蒋中一《数理经济学的基本方法》商务印书馆2、蒋中一《动态最优化基础》商务印书馆3、邵宜航《数理经济学精要》科学出版社导论一、什么是数理经济学？数理经济学不是经济学的一个分支学科，它是一种经济分析方法，是经济学家利用数学符号描述经济问题，运用已知的数学定理进行推理的一种方法。就分析的具体对象而言，它可以是微观或宏观经济理论，也可以是公共财政、城市经济学或其它经济学科。按照经济分析方法的分类来讲解相关的数学知识，并通过介绍大量的宏微观经济模型掌握经济分析方法和数学方法。二、数理经济学的本质探讨如何用数学语言准确、精练描述经济学问题，并推敲通过数理分析而导出的数学关系式所表达的经济学含义，由此揭示经济活动的规律性才是数理经济学的本质所在。经济学问题的数学表述举例1：消费者选择问题在收入水平的约束条件下，选择最优的消费量组合以最大化消费效用。模型为：112(,...,)1122max:(,,...,).:...nnxxnniiUxxxstpxpxpxyxipUy表示第个商品的消费量，表示相对应的商品价格，为消费效用函数，为收入。举例2：最优经济增长问题（连续型）研究一代表性家庭如何选择最优的动态消费路径，以最大化其从现在到将来的效用现值总和。模型描述为：0(,)0max:(()).:()(())()(0)()()tckUctedtstktfktctkkcttkttU消费效用现值总和资源和技术的约束初期的资本存量限制表示时点的人均消费，表示时点的人均资本存量，表示个人效用函数，表示主观贴现率。三、授课逻辑主线经济学定义为研究有限资源的有效（最优）配置的科学，因此许多经济学问题可以表示为数学的最优化问题。本课程主要学习在微观经济学和宏观经济学中经常使用的最优化数学分析方法。数学的最优化问题：所谓最优化问题是“在关于变量的约束条件下，寻找使目标值最大化或最小化的变量”的问题举例1：非线性规划问题1211221212121122121212min:(,,...,)(,,...,)0(,,...,)0.:(,,...,)0......0(,,...,)(,,...,)(,,...,)(,,...,)...(,,...,)nnnnmnnnnnlfxxxgxxxgxxxstgxxxgxxxhxxxhxxxhxxxhxxx000...0:,:,:nmnijfRRgRRhRR举例2：最优控制问题1000min:(,(),()).:()(,(),())()():,:,ttnmnmmftxtutdtstxttxtutxtxutUfRRRRRRRRUR四、授课主要内容相关数学背景知识（集合与映射、微积分、微分方程）静态最优化（最优化的古典方法——无约束、等式约束；最优化的非古典方法——数学规划（线性规划和非线性规划），处理不等式约束。）动态最优化（变分法、最优控制理论和动态规划）第一部分数学背景内容见杰里和瑞尼：《高级微观经济理论》上海财经大学出版社附录A1、A2主要内容：一、集合和映射二、凸集三、关系与函数四、一点拓扑学五、实值函数六、分离超平面定理第一章集合和映射一、集合1.集合的定义：具有某种特定性质的事物的总体。组成这个集合的事物称为该集合的元素。1.Rx|x举例：n1ni2.R(x,...,x)|xR,i1,...,nn1ni3.R(x,...,x)|x0,i1,...,nn1ni4.R(x,...,x)|x0,i1,...,n子集的定义：如果集合S的每个元素也是集合T的一个元素，那么集合S是另外一个集合T的子集。ST记为：2.集合的运算AB{x|xA,xB}并：＝或AB{x|xA,xB}交：＝且AB{x|xA,xB}差：\＝但cA{x|xA}余：＝ABBAABBA;交换律：＝，＝ABCABCABCAC结合律：（）＝（）,（）＝（B）;ABCACBCABCACBC分配律：(）＝（）（）,（）＝（）（）;ABABBABA,A,A\BAA;吸收律；若，则＝；＝＝，＝3.集合的运算规律CABAB;转换律:\＝DeMorgen对偶原理；（－原理）CC(1)(AA(2)(AACC)＝,)＝。4.集合的乘积ST(s,t)|sS,tT12n12niiXX...X(x,x,...,x)|xXi12i1i1nXXX...XX...X记二、凸集1.上的凸集定义：nRn1212SRx,xS,t[0,1],tx(1t)xS称是凸集：1212zxxztx(1t)x称是与凸组合：如果，（0t1）R中的凸组合凸组合例1：(当n=1)2R中的一些凸组合凸组合例2：(当n=2)凸集：例1：2R中的凸集非凸集：例2：2R中的非凸集因此当且仅当把集合内的任意两点用一条直线联接，该直线完全处于集合内，那么此集合为凸集。凸集本质上没有洞，无断点，在边界没有麻烦的凸凹。2.凸集的性质定理1：凸集的交集是凸集nSTRST设与是上的凸集，那么是凸集。12112212,,TT[0,1],(1),,STxxSTxSxxSxtztxtxzSzTzSTST证明：设与为凸集。那么且，且。对于令则且因此。即是凸集。三、关系与函数1.二元关系(,),RSTRSTstsStT定义：任何有序对把一个元素与另一个元素联系起来，则这些有序对的集合被认为构成和之间的一个二元关系。若(s,t)R,则写成sRt显然1.2,,1.3,,SSASxyxRyyRxSRASxyzxRyyRzxRzSR定义：当一个二元关系是一集合与自身的乘积的子集，称这是集合上的一个关系。定义如果对于中的所有元素与有或那么称上的关系是具有完备性。定义如果对于中的任何三个元素、、有和则蕴含着，那么称上的关系是具有传递性。1,;(2)(),,,;(3)(),,,,,;nBnRBxBxxxyBxyyxxyzBxyyzxz举例设是维欧氏空间中的凸集，在中引入一个二元关系记为，如果它具有：（）（反身性）若则完备性若则或者传递性若如果则我们称“”是一个偏好关系。2.函数函数是一类特殊的关系，它是将一个集合内的每个元素与另一个集合内的单个且唯一的元素联系起来的关系。称函数f是从集合D到另一个集合R的映射，记成f:DR函数与非函数四、一点拓扑学拓扑学研究集合与映射的基本性质。（本书仅考虑上的集合）nR1、度量空间2221122,,(,)()()...(),,,nnniixyRdxyxyxyxyxyxyxyi定义：空间中两点将：称为两点间的“距离”，这里分别是向量第分量。定理：,,,(1)(3)(1)(,)0,(,)0;(2)(,)(,)(3)(,)(,)(,)()nxyzRdxyxydxydxydyxdxydyzdxz对于任意的以下的式成立：当且仅当时，三角不等式ndR在距离被定义的情况下，向量空间被称为“欧几里得空间”；用具有上述定理所示性质的距离来定义的空间被称为“度量空间”。2、开球与闭球0000*001.410(){|(,)}20(){|(,)}nnnnAxRBxxRdxxxRBxxRdxx定义、以为中心，以为半径的开球是上的点的子集：、以为中心，以为半径的闭球是上的点的子集：1.5,0,(),nnARxSBxSSR定义上的开集如果对于使得那么是一个开集。显然任何开球是开集。1.21234nnARR定理上的开集、空集是一个开集。（定义）、整个空间是一个开集。、开集的并集是一个开集。、任何有限开集的交集是一个开集。反例：111(1,1)nnnAnnA1.3,0,(),()1()2()xxxxxxSxSxSASxSBxSSUBxxSxUBxxUBxxS定理每个开集是开球的并集。即：设是一个开集。对于使得那么：＝证明：（）若（）若1.6SnARc定义上的闭集如果S的补集S是个开集，那么是一个闭集。SSSxSSx定义：边界点如果以为中心，以为半径的每个球，包含了内的点，以及不在内的点，那么点被称为的一个边界点。集合的所有边界点表示成。0,(),int.xBxSxSSSS定义：内点如果以为中心，使得那么点被称为的内点。集合的所有内点的集合记为定义：闭集如果集合包含所有边界点，此集合为闭集。定义：开集如果一个集合所有点都是内点，那么此集合为开集。闭集的特征：{}knSSxxS上的集合是闭的的点列的极限也属于。1.41234nnARR定理上的闭集、空集是一个闭集。（定义）、整个空间是一个闭集。、闭集的任何有限集合的并是一个闭集。、闭集的交集是一个闭集。证明：121212123,()4nicciIiiIiiIicccSRiIISSSSSSSSSSS（）设是上的闭集，是有限的指标集。＝所以是闭的。（）设，是闭集。（）所以是闭集。举例：{}SRSsS设是一个由单点组成的集合，证明是一个闭集。1.7SSnARS定义有界集如果，完全被包含在一个半径为的球内（开球或闭球），则称是有界的。3、有界集221{(,)|14}xyxy、2{(,)|0}xyxy、举例：xyo,,,,,SSSSSRlxSlxlSuxSuxuS设是任何非空的实数集。任何实数，对于总有那么是数集的下界。任何实数对于总有那么是数集的上界。的下界中最大数被称为的最大的下界或下确界，记为infS.的上界中最小数被称为的最小的上界或上确界，记为supS.定义：下确界、上确界定理：对于R的任何有界子集总会存在一个上确界和下确界。定理A1.5实数子集的上界与下界1.2.SRabSaSbSSRabSaSbS、设是内的一个有界开集，并设与分别是的下确界和上确界，那么并且、设是内的一个有界闭集，并设与分别是的下确界和上确界，那么并且证明：反证法。定义A1.8(heine-Borel)紧集nSSR如果集合是闭的且有界的，在上被称为紧的。4、（Cauchy）连续性定义：一元连续函数0000,0,(,)((),()),:dxxdfxfxfRRx如果对于总会使得蕴含着那么函数是在点处连续。如果函数在其定义域的每个点上连续，那么该函数被称为连续函数。定义：A1.9（Cauchy）连续性0000,0,(())(())mnDRfDRfBxDBfxfxfxDf设，并且设：。如果使得：，那么在点连续。如果在每个点上连续，那么称是连续函数。问题：一个连续函数能否将定义域内的开集映射进值域内的开集，或将闭集映射进闭集？反例：()fxaA1.10,0,(),A1.11{|}mmcDDRSDxSBxDSSDDDRSDSxDxSDSD定义中的开集设，。因此如果对于使得那么称在内是开的。定义中的闭集设，。若在内是开的，那么称在内是闭的。定理A1.6连续性与其逆象-1-11.:2.()3.()mnnnDRfDRRBfBDRSfSD设是的一个子集，如下的条件是等价的：是连续的；对于内的每个开球，在内也是开的；对于内的每个开集，在内也是开的。-1-1-11231112(),()0,(());()0,(())(())()()()nxfBfxBBRBfxBfxfBxDBfxBBxDfBfBD证明：（）得由在中是开的，依的连续性，使得因此所以在内是开的。其余证明略。问题：连续函数能否将定义内的紧集映射进值域内的紧集？定理A1.7紧集的连续