第五讲定积分的微元法定积分在几何中的应用(一).

-1-第五讲定积分的微元法定积分在几何中的应用(一)一、定积分的微元法由引入定积分概念的两个实例不难看出，可用定积分所求的量A具有以下三个特点：1、量A是分布在区间［a,b］上的整体量，即A与区间［a,b］有关，在［a,b］上连续分布。3、量A在区间［a,b］上的分布是非均匀的。现在来讨论如何用定积分解决一些实际问题。复习求曲边梯形面积的方法，给出微元法的概念。设f(x)在区间［a,b］上连续，且f(x)0，求以曲线取近似计算每个小区间上面积Ai的近似值Aif(i)xi2、量A具有可加性，即整体量等与部分量的和:nAi；i1f(X)为曲边的［a,b］上的曲边梯形的面积A.把这个面积A表示为定积分Aabf(x)dx，求面积A的思路是“分割、取近似、求和、取极限”即:1、分割将［a,b］分成n个小区间，相应地把曲边梯形分成n个小曲边梯形,其面积记作A(i1,2,,n),则AA；i12、(xi1ixn)；3、求和求和得A的近似值Anf(i)i1xi；4、n取极限取极限得Alim0i1f(i)xibf(x)dx．为了以后使用方便，可把上述四步概括为下面两步，设所求量为A，区间yA「为[a,b],1、无限细分，化整为零Afxdx;2、连续求和，积零为整xbbbdAdAxdfxdxfxdx，AdAdAxfaaaa由此不难看出，fxdx实际上就是量A在点x出的微分，将dAfxdx称为量A的微元，上述方法称为微元分析法，简称为微元法。二、定积分在几何中的应用(一)平面图形的面积1、直角坐标系下面积的计算在dx0时，将A从a到b连续求和，则有：Af(x)dx.yn由于A与区间［a,b］有关，且在［a,b］上连续分布,上限函数的定义则有：Axfxdx，从而，x有积分axbX1、当平面图形是由曲线f(x)及直线xb、y0所围成时;bAfxdx；当f(x)0时,a当f(x)0时般地,oyyobfxdx；a细分区间［a,b］，从中任取一小区间［x,xdx］(dxx)，并求出相应于这个小区间的部分量aoA的近似值///JxXdxbXxdx；xxx-4-fxdxdfxdxfxdxacbfxdx.d2、当平面图形是由曲线伞yyiX、y2f2x及直线xa、xb所围成时;yyifixy2Toxbx若yiy2时，则有：Af2xfixdxbbf2xdxfiaaxdx般地,f2xflxdxacfixaf2xddxcf2bxfixdxdfixf2xdx3、当平面图形是由曲线Xifiy、X2f2y及直线yd所围成时;d则：A2y1ydy.cx例1、计算由两条抛物线y2x-5-例2、计算抛物线y22x与圆x2寸8所围平面图形的面积。例3、计算抛物线y22x与直线xy4所围平面图形的面积。2、曲线方程为参数方程的平面图形面积的计算tdt.设曲线的参数方程为:，则:例4、计算摆线Sintcost的一拱与x轴围成的平面图形的面积。例5、求椭圆xxa0,b围成的平面图形的面积。acostbsint►x-6-第六讲§5.2定积分在几何中的应用（二）3：：、极坐标下面积的计算该区间上对应的小曲边扇形近似的看作圆弧扇形,从而可得面积的微元:dA2r2d.解：令r0可得，一，由图形的对称性,4其面积等于位于第一象限部分面积的422acos2d0例1、求心形线ra1cosa0围成图形的面积。解：由图形的对称性,其面积等于极轴上方面积A的2倍,于是，A2A2o2r2da210cos2d3a2.4例2、求圆r2acos的面积。例3、求双纽线r2a2cos2a0围成图形的面积。设曲线的极坐标方程为：rr;求由曲线rr及射线围成的曲边扇形的面积。用微元法先求出曲边扇形面积的微元。细分区间，从中任取一小区间于是：A予2d2r2d.d将----------xa1cos—xiIra2sin2-7-类似的可求出由连续曲线xy、y轴及直线二、旋转体的体积由连续曲线yf(x),x轴及直线xa,xb所围成的曲边梯形绕x轴旋转周所形成的几何体称为旋转体。求此旋转体的体积V.yfx先求几何体的体积微元。细分区间a,b，从中任取一小区间x,xdx，在此小区间上，将所对应的小旋转体近似的看作以yf(x)为底半径，dx为高的小圆柱体，从而可得：dVf2Xdx.ia1W;；lxdx‘b.■-I,1-V74bb于是：VdVf2xdxaaby2dx.d围成的曲边梯形绕图510绕X轴求体积y轴旋转一周所形成的旋转体的体积V.dV2ydy；ddVdV2c例4、求由抛物线yx2,x轴及直线x0,x面图形绕x轴旋转，求所形成的旋转体的体积.dc22例5、求椭圆务当1分别绕x轴和y轴旋转所形成的旋转体的体积V.ab例6、求底半径为r，高为h的圆锥体的体积。