高中数学学业水平考试知识点

1/14高中数学学业水平测试知识点（整理人：李辉）【必修一】一、集合与函数概念并集：由集合A和集合B的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取一次。记作：A∪B交集：由集合A和集合B的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次记作：A∩B补集：就是作差。1、集合naaa,...,,21的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子有2n–2个.2、指数函数xya与对数函数logayx互为反函数（0,1aa）它们的图象关于y=x对称。3、（1）函数定义域：①分母不为0；②开偶次方被开方数0；③指数的真数属于R、对数的真数0.4、函数的单调性：如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)（）f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增（减）函数，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。5、奇函数：是()()fxfx-=-，函数图象关于原点对称（若0x在其定义域内，则(0)0f）；偶函数：是()()fxfx-=，函数图象关于y轴对称。6、指数幂的含义及其运算性质：（1）函数)10(aaayx且叫做指数函数。（2）指数函数(0,1)xyaaa当01a为减函数，当1a为增函数；①rsrsaaa；②()rsrsaa；③()(0,0,,)rrrabababrsQ。（3）指数函数的图象和性质7、对数函数的含义及其运算性质：（1）函数log(0,1)ayxaa叫对数函数。（2）对数函数log(0,1)ayxaa当01a为减函数，当1a为增函数；①负数和零没有对数；②1的对数等于0：01loga；③底真相同的对数等于1：1logaa，（3）对数的运算性质：如果a0,a≠1,M0,N0，那么：①NMMNaaalogloglog；②NMNMaaalogloglog；③)(loglogRnMnMana。指数与对数互化式：logxaaNxN；对数恒等式：logaNaN.1a10a图象654321-1-4-224601654321-1-4-224601性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数(5)0,1xxa;0,01xxa(5)0,01xxa;0,1xxa2/14(5)对数函数的图象和性质8、幂函数：函数xy叫做幂函数（只考虑21,1,3,2,1的图象）。9、方程的根与函数的零点：如果函数)(xfy在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf，那么，函数)(xfy在区间(a,b)内有零点，即存在),(bac，使得0)(cf这个c就是方程0)(xf的根。【必修二】一、直线平面简单的几何体1、长方体的对角线长2222cbal；正方体的对角线长al32、球的体积公式：334　Rv；球的表面积公式：24　RS3、⑴圆柱侧面积；lrS2侧面⑵圆锥侧面积：lrS侧面⑶圆台侧面积：lRlrS侧面柱体、锥体、台体的体积公式：柱体V=Sh(S为底面积，h为柱体高)；锥体V=Sh31(S为底面积，h为柱体高)台体V=31(S’+SS'+S)h(S’,S分别为上、下底面积，h为台体高)4、点、线、面的位置关系及相关公理及定理：（1）四公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内。公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.（2）空间线线，线面，面面的位置关系：空间两条直线的位置关系：相交直线——有且仅有一个公共点；平行直线——在同一平面内，没有公共点；异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。空间直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内（无数个公共点）；1a10a图象32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011性质(1)定义域：（0，+∞）（2）值域：R（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0（4）在（0，+∞）上是增函数（4）在（0，+∞）上是减函数(5)0log,1xxa；0log,10xxa(5)0log,1xxa；0log,10xxa3/14（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a，aA，//a。空间平面和平面的位置关系：（1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有一条公共直线。5、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。符号表示：////abaab。图形表示：6、两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。符号表示：//////ababPab。图形表示：7、.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么交线与这条直线平行。符号表示：////aaabb。图形表示：8、两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线的平行。符号表示：9、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。符号表示：10、.两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。符号表示：11、直线与平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。符号表示：//aabb。12、平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。符号表示：13、异面直线所成角：平移到一起求平移后的夹角。直线与平面所成角：直线和它在平面内的射影所成的角。（如右图）14、异面直线所成角的取值范围是90,0；直线与平面所成角的取值范围是90,0；二面角的取值范围是180,0；两个向量所成角的取值范围是180,0二、直线和圆的方程1、斜率：tank，),(k；直线上两点),(),,(222111yxPyxP，则斜率为2、直线的五种方程：（1）点斜式11()yykxx(直线l过点111(,)Pxy，且斜率为k)．（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).（3）两点式112121yyxxyyxx((111(,)Pxy、222(,)Pxy；(12xx)、(12yy)).(4)截距式1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)（5）一般式0AxByC(其中A、B不同时为0).3、两条直线的平行、重合和垂直：(1)若111:lykxb，222:lykxb①1l‖1212bkkl且≠;2b2121yykxx//,,//abab,,,,ababPlalbl,ll,,.lmlmlPHl4/14ax2+bx+c=0(a≠0)②22121bbkkll且重合时与；③12121llkk.(2)若1111:0lAxByC,2222:0lAxByC,且A1、A2、B1、B2都不为零,①11112222||ABCllABC；②1212120llAABB4、两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的距离公式│P1P2│=212212)()(yyxx5、两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的中点坐标公式M（221xx，221yy）6、点P（x0，y0）到直线（直线方程必须化为一般式）Ax+By+C=0的距离公式d=2200BACByAx7、平行直线Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0的距离公式d=2212BACC8、圆的方程：标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为r；一般方程220xyDxEyF，（配方：44)2()2(2222FEDEyDx）0422FED时，表示一个以)2,2(ED为圆心，半径为FED42122的圆；9、点与圆的位置关系：点00(,)Pxy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种：若2200()()daxby，则dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.10、直线与圆的位置关系：直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:0相离rd;0相切rd;0相交rd.其中22BACBbAad.11、弦长公式：若直线y=kx+b与二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交于A(x1，y1)，B（x2，y2）两点，则由二次曲线方程y=kx+m则知直线与二次曲线相交所截得弦长为：AB=212212)()(yyxx=21k21xx=21221241xxxxk）（）（=2122122124)()11(11yyyykyyk=aacbk412213、空间直角坐标系，两点之间的距离公式：⑴xoy平面上的点的坐标的特征A（x，y，0）：竖坐标z=0xoz平面上的点的坐标的特征B（x，0，z）：纵坐标y=0yoz平面上的点的坐标的特征C（0，y，z）：横坐标x=0x轴上的点的坐标的特征D（x，0，0）：纵、竖坐标y=z=0y轴上的点的坐标的特征E（0，y，0）：横、竖坐标x=z=0z轴上的点的坐标的特征E（0，0，z）：横、纵坐标x=y=0⑵│P1P2│=212212212-zz-yy-xx）（）（）（zyxFEDCBAXYZO5/14【必修三】统计：三．三种常用抽样方法：1、简单随机抽样；2．系统抽样；3．分层抽样。4．统计图表：包括条形图，折线图，饼图，茎叶图。四、频率分布直方图：具体做法如下：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图。注：小矩形的高度=频率/组距。2、频率分布直方图：=频率小矩形面积（注意：不是小矩形的高度）计算公式：=频数频率样本容量=频数样本容量频率==频率频率小矩形面积组距组距各组频数之和=样本容量，各组频率之和=13、茎叶图：茎表示高位，叶表示低位。折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。4、刻画一组数据集中趋势的统计量：平均数，中位数，众数。在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数；5、刻画一组数据离散程度的统计量：极差，极准差，方差。（1）极差一定程度上表明数据的分散程度，对极端数据非常敏感。（2）方差，标准差越大，离散程度越大。方差，标准差越小，离散程度越小，聚集于平均数的程度越高。（3）计算公式：标准差：方差：直线回归方程的斜率为bˆ，截距为aˆ，即回归方程为yˆ=bˆx+aˆ（此直线必过点（x，y））。6、频率分布直方图：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各