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第二章圆锥曲线与方2．2双曲线2．2.1双曲线及其标准方程双基达标（限时20分钟）1．设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()．A．4B．5C．8D．10解析由椭圆的标准方程得a2＝25，a＝5.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.答案D2．已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是()．A．椭圆B．直线C．圆D．线段解析∵|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，∴点M的轨迹是线段F1F2，故选D.答案D3．如果方程x2a2＋y2a＋6＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()．A．a3B．a－2C．a3或a－2D．a3或－6a－2解析由于椭圆焦点在x轴上，∴a2a＋6，a＋60，即（a＋2）（a－3）0，a－6.⇔a3或－6a－2.故选D.答案D4．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．解析由已知2a＝8，2c＝215，∴a＝4，c＝15，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆标准方程为y216＋x2＝1.答案y216＋x2＝15．已知椭圆x220＋y2k＝1的焦距为6，则k的值为________．解析由已知2c＝6，∴c＝3，而c2＝9，∴20－k＝9或k－20＝9，∴k＝11或k＝29.答案11或296．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；(2)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．由椭圆的定义知2a＝32＋（2＋2）2＋32＋（2－2）2＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为y216＋x212＝1.(2)由题意知2c＝10，2a＝26，所以c＝5，a＝13，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x2169＋y2144＝1或y2169＋x2144＝1综合提高（限时25分钟）7．已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是()．A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线解析如图，依题意：|PF1|＋|PF2|＝2a(a0是常数)．又∵|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PQ|＝2a，即|QF1|＝2a.∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆，故选A.答案A8．设F1，F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于()．A．5B．4C．3D．1解析由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(25)2可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为12|PF1|·|PF2|＝12×2×4＝4，故选B.答案B9．若α∈(0，π2)，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析方程x2sinα＋y2cosα＝1可化为x21sinα＋y21cosα＝1.∵椭圆的焦点在y轴上，∴1cosα1sinα0.又∵α∈(0，π2)，∴sinαcosα0，∴π4απ2.答案(π4，π2)10．椭圆x212＋y23＝1的两个焦点为F1和F2，点P在椭圆上，线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的________倍．解析依题意，不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，设P点的坐标为(x1，y1)，由线段PF1的中点的横坐标为0，知x1－32＝0，∴x1＝3.把x1＝3代入椭圆方程x212＋y23＝1，得y1＝±32，即P点的坐标为(3，±32)，∴|PF2|＝|y1|＝32.由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝43，∴|PF1|＝43－|PF2|＝43－32＝732，即|PF1|＝7|PF2|.答案711．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．解设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c0)．∵F1A⊥F2A，∴F1A→·F2A→＝0，而F1A→＝(－4＋c，3)，F2A→＝(－4－c，3)，∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5，0)，F2(5，0)．∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32＝10＋90＝410.∴a＝210，∴b2＝a2－c2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x240＋y215＝1.12．(创新拓展)如图，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1，0)，Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．解由题意知，点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上，则|MA|＝|MQ|，∴|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.∵A(1，0)，C(－1，0)，∴点M的轨迹是以(1，0)，(－1，0)为焦点的椭圆，且2a＝5，故a＝52，c＝1，b2＝a2－c2＝254－1＝214.故点M的轨迹方程为x2254＋y2214＝1.即4x225＋4y221＝1.