2-1-2-2

第2课时椭圆方程及性质的应用双基达标（限时20分钟）1．(2011·厦门高二检测)椭圆x212＋y23＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是()．A．±34B．±32C．±22D．±34解析由条件可得F1(－3，0)，PF1的中点在y轴上，∴P坐标(3，y0)，又P在x212＋y23＝1的椭圆上得y0＝±32，∴M的坐标(0，±34)，故选A.答案A2．如图所示，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为()．A.15B.25C.55D.255解析由条件知，F1(－2，0)，B(0，1)，∴b＝1，c＝2，∴a＝22＋12＝5，∴e＝ca＝25＝255.答案D3．已知椭圆x23＋y24＝1的上焦点为F，直线x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0与椭圆分别相交于点A，B和C，D，则AF＋BF＋CF＋DF＝()．A．23B．43C．4D．8解析如图，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF1、FD.由椭圆的对称性可知，四边形AFDF1(其中F1为椭圆的下焦点)为平行四边形，∴AF1＝FD，同理BF1＝CF，∴AF＋BF＋CF＋DF＝AF＋BF＋BF1＋AF1＝4a＝8.答案D4．直线y＝x＋2与椭圆x2m＋y23＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．解析由y＝x＋2，x2m＋y23＝1消去y，整理，得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.若直线与椭圆有两个公共点，则3＋m≠0，Δ＝（4m）2－4m（3＋m）0，解得m≠－3，m0或m1.由x2m＋y23＝1表示椭圆知，m0且m≠3.综上可知，m的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．答案(1，3)∪(3，＋∞)5．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝12x＋1截得的弦长为________．解析由x2＋4y2＝16，y＝12x＋1，消去y并化简，得x2＋2x－6＝0.设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.∴弦长|MN|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝（x1－x2）2＋（12x1－12x2）2＝54[（x1＋x2）2－4x1x2]＝54（4＋24）＝35.答案356．已知直线l：y＝kx＋1与椭圆x22＋y2＝1交于M、N两点，且|MN|＝423.求直线l的方程．解设直线l与椭圆的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由y＝kx＋1，x22＋y2＝1，消y并化简，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，∴x1＋x2＝－4k1＋2k2，x1x2＝0.由|MN|＝423，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝329，∴(1＋k2)(x1－x2)2＝329，∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝329.即(1＋k2)－4k1＋2k22＝329.化简，得k4＋k2－2＝0，∴k2＝1，∴k＝±1.∴所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.综合提高（限时25分钟）7．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率是63，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为()．A.12B．－12C.13D．－13解析设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，则y2＝b2－b2x2a2，y21＝b2－b2x21a2，所以k1·k2＝y－y1x－x1·y＋y1x＋x1＝y2－y21x2－x21＝－b2a2＝c2a2－1＝e2－1＝－13，即k1·k2的值为－13.答案D8．已知椭圆C：x22＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若FA→＝3FB→，则|AF→|＝()．A.2B．2C.3D．3解析设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：x22＋y2＝1，知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1，∴右焦点F(1，0)．∴由FA→＝3FB→，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝43，y0＝13n.将x0，y0代入x22＋y2＝1，得12×(43)2＋(13n)2＝1.解得n2＝1，∴|AF→|＝（2－1）2＋n2＝1＋1＝2.所以选A.答案A9．(2011·北京东城检测)已知F1、F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.解析由题意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8.答案810．如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．解析直线A1B2的方程为x－a＋yb＝1，直线B1F的方程为xc＋y－b＝1，二者联立，得T2aca－c，b（a＋c）a－c，则Maca－c，b（a＋c）2（a－c）在椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上，∴c2（a－c）2＋（a＋c）24（a－c）2＝1，c2＋10ac－3a2＝0，e2＋10e－3＝0，解得e＝27－5.答案27－511．已知过点A(－1，1)的直线与椭圆x28＋y24＝1交于点B、C，当直线l绕点A(－1，1)旋转时，求弦BC中点M的轨迹方程．解设直线l与椭圆的交点B(x1，y1)，C(x2，y2)，弦BC中点M(x，y)，则x218＋y214＝1，①x228＋y224＝1.②②－①，得(x228－x218)＋(y224－y214)＝0.∴(x2＋x1)(x2－x1)＋2(y2＋y1)(y2－y1)＝0.③当x1≠x2时，x1＋x22＝x，y1＋y22＝y，y2－y1x2－x1＝y－1x＋1，又∵③式可化为(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·y2－y1x2－x1＝0.∴2x＋2·2y·y－1x＋1＝0，化简得x2＋2y2＋x－2y＝0.当x1＝x2时，由点M(x，y)是线段BC中点，∴x＝－1，y＝0，显然适合上式．总之，所求弦中点M的轨迹方程是x2＋2y2＋x－2y＝0.12．(创新拓展)如图所示，点A、B分别是椭圆x236＋y220＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．解(1)由已知可得点A(－6，0)，F(4，0)，设点P的坐标是(x，y)，则AP→＝(x＋6，y)，FP→＝(x－4，y)．由已知得x236＋y220＝1，（x＋6）（x－4）＋y2＝0.则2x2＋9x－18＝0,即得x＝32或x＝－6.由于y0，只能x＝32，于是y＝523.∴点P的坐标是32，523.(2)直线AP的方程是x－3y＋6＝0.设点M的坐标是(m，0)，则M到直线AP的距离是|m＋6|2，于是|m＋6|2＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得m＝2，设椭圆上的点(x，y)到点M的距离d，有d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－59x2＝49(x－92)2＋15，由于－6≤x≤6.∴当x＝92时，d取最小值15.