2-2-2

2.2.2双曲线的简单几何性质双基达标（限时20分钟）1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为()．A．－14B．－4C．4D.14解析由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m0，则双曲线方程可化为y2－x2－1m＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－1m＝b2＝4，∴m＝－14，故选A.答案A2．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是()．A．y＝±3xB．y＝±13xC．y＝±3xD．y＝±33x解析令x2－y23＝0，则y＝±3x.答案C3．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1，3)，离心率为2的双曲线的标准方程为()．A.x24－y24＝1B.y24－x24＝1C.x28－y28＝1D.y28－x28＝1解析由离心率为2，∴e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝2，即a＝b，∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，又点P(1，3)在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，∴所求双曲线的标准方程为y28－x28＝1.故选D.答案D4．与双曲线x2－y24＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是________．解析依题意，设双曲线的方程x2－y24＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x23－y212＝1.答案x23－y212＝15．双曲线x24＋y2k＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是________．解析双曲线方程可变为x24－y2－k＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝ca＝4－k2，又∵e∈(1，2)，则14－k22，解得－12k0.答案(－12，0)6．求双曲线x2－y24＝1的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与渐近线方程．解把方程化为标准方程为x212－y222＝1，由此可知实半轴长a＝1，虚半轴长b＝2，顶点坐标是(－1，0)，(1，0)，c＝a2＋b2＝12＋22＝5，焦点的坐标是(－5，0)，(5，0)，渐近线方程为x1±y2＝0，即y＝±2x.综合提高（限时25分钟）7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为x－2y＝0，则它的离心率为()．A.5B.52C.3D．2解析由题意知，这条渐近线的斜率为12，即ab＝12，而e＝ca＝1＋ba2＝1＋22＝5，故选A.答案A8．若0ka2，则双曲线x2a2－k－y2b2＋k＝1与x2a2－y2b2＝1有()．A．相同的虚轴B．相同的实轴C．相同的渐近线D．相同的焦点解析a2－k0，b2＋k0，所以a2－k＋b2＋k＝a2＋b2＝c2.所以两双曲线有相同的焦点．答案D9．若双曲线中心在原点，焦点在y轴，离心率e＝135，则其渐近线方程为________．解析由已知设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．由e＝135，得e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝16925.∴b2a2＝14425，则ba＝125，∴渐近线方程为y＝±abx＝±512x.答案y＝±512x10．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，点F1是另一个焦点，若∠PF1Q＝90°，则双曲线的离心率等于________．解析设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，由题意，知在焦点三角形F1PF2中，|PF1|＝22c，|PF2|＝2c，又|PF1|－|PF2|＝2a，故有e＝2＋1.答案2＋111．已知双曲线3x2－y2＝3，过P(2，1)点作一直线交双曲线于A、B两点．若P为AB的中点，(1)求直线AB的方程；(2)求弦AB的长．解(1)易知直线AB的斜率存在．设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入双曲线方程3x2－y2＝3，得3x21－y21＝3，3x22－y22＝3，两式相减得：3(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，即y1－y2x1－x2·y1＋y2x1＋x2＝3.所以直线AB的斜率kAB＝y1－y2x1－x2＝3（x1＋x2）y1＋y2＝3×x1＋x22y1＋y22＝3×21＝6.所以直线AB的方程为6x－y－11＝0.(2)将y＝6x－11代入3x2－y2＝3，得33x2－132x＋124＝0.由弦长公式|AB|＝（1＋k2）|x1－x2|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]得：|AB|＝（1＋36）×1322－4·33·124332，所以|AB|＝4332442.12．(创新拓展)已知点N(1，2)，过点N的直线交双曲线x2－y22＝1于A、B两点，且ON→＝12(OA→＋OB→)．(1)求直线AB的方程；(2)若过点N的直线交双曲线于C、D两点，且CD→·AB→＝0，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？解(1)由题意知，直线AB的斜率存在．设直线AB：y＝k(x－1)＋2，代入x2－y22＝1得(2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是方程(*)的两根，∴2－k2≠0.且x1＋x2＝2k（2－k）2－k2.∵ON→＝12(OA→＋OB→)，∴N是AB的中点，∴x1＋x22＝1，∴k(2－k)＝－k2＋2，k＝1，∴直线AB的方程为y＝x＋1.(2)共圆．将k＝1代入方程(*)得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，∴A(－1，0)，B(3，4)．∵CD→·AB→＝0，∴CD垂直AB，∴CD所在直线方程为y＝－(x－1)＋2，即y＝3－x，代入双曲线方程整理得x2＋6x－11＝0，令C(x3，y3)，D(x4，y4)及CD中点M(x0，y0)则x3＋x4＝－6，x3·x4＝－11，∴x0＝x3＋x42＝－3，y0＝6，即M(－3，6)．|CD|＝1＋k2|x3－x4|＝1＋k2（x3＋x4）2－4x3x4＝410，|MC|＝|MD|＝12|CD|＝210，|MA|＝|MB|＝210，即A、B、C、D到M的距离相等，∴A、B、C、D四点共圆．