《2.3.2.1双曲线的简单几何性质》课时提升作业(含解析)

课时提升作业(十五)双曲线的简单几何性质(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.下列曲线中离心率为的是()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.选项B中,a2=4,b2=2,所以c2=a2+b2=6,所以a=2,c=,故e==.【变式训练】已知双曲线-=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于()A.B.C.D.【解析】选C.由a2+5=32,得a=2,所以e==.2.(2014·兰州高二检测)已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x+2y-3=0,则该双曲线的离心率为()A.5或B.或C.或D.5或【解析】选B.因为双曲线的一条渐近线平行于直线x+2y-3=0,所以=-或=-,所以e==或.【变式训练】(2014·白山高二检测)设双曲线-=1(a0)的渐近线方程为3x±2y=0,则该双曲线的离心率为.【解析】因为双曲线的焦点在x轴上,且渐近线方程为3x±2y=0,所以=,所以该双曲线的离心率e==.答案:3.(2014·温州高二检测)双曲线x2-y2=1的渐近线方程是()A.x=±1B.y=±xC.y=±xD.y=±x【解析】选C.由双曲线x2-y2=1,得a2=1,b2=1,即a=1,b=1,所以渐近线方程为y=±x=±x.4.(2014·太原高二检测)已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选A.设双曲线的标准方程为-=1(a0,b0),由所以a=2,又b2=c2-a2=12,所以双曲线的标准方程为-=1.5.(2013·湖北高考)已知0θ,则双曲线C1:-=1与C2:-=1的()A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【解题指南】分别求两双曲线的半焦距c的值.【解析】选D.c1=c2=1.【举一反三】若双曲线C1与C2的方程分别改为:C1:-=1,C2:-=1则结论如何?【解析】选C.对于双曲线C1,有a=cosθ,b=sinθ,所以c2=cos2θ+sin2θ=1,e==.对于双曲线C2,有a=sinθ,b=sinθtanθ,所以c2=sin2θ(1+tan2θ)=sin2θ=,e===.即e1=e2=,故两双曲线离心率相等.6.(2014·孝感高二检测)设F1,F2是双曲线x2-=1的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P,使PF1⊥PF2,且|PF1|=λ|PF2|,则λ的值为()A.2B.C.3D.【解析】选A.因为PF1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=20,又|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=4,|PF2|=2,所以|PF1|=2|PF2|,故选A.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·广州高二检测)若双曲线-=1(b0)的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),则双曲线的渐近线方程为________________________.【解析】由双曲线-=1(b0)的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),所以9+b2=52,得b=4,又a=3,所以双曲线方程为-=1,故渐近线方程为4x±3y=0.答案:4x±3y=08.(2014·南昌高二检测)设圆过双曲线-=1的一个顶点和一个焦点,圆心在双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是.【解析】不妨设圆心在右支上且在第一象限,若圆过右焦点和左顶点,则这样的圆不存在,故圆只能过右顶点A2(2,0),右焦点F2(4,0),则圆心P为A2F2的垂直平分线与双曲线的交点,将x=3代入双曲线方程,得P(3,).故|OP|==2.答案:29.(2014·重庆高二检测)设F1,F2分别为双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,若在双曲线的右支上存在一点P满足:①△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形;②直线PF1与圆x2+y2=a2相切,则此双曲线的离心率为.【解析】因为|PF1|-|PF2|=2a,|PF2|=|F1F2|=2c,所以|PF1|=2a+2c,作F2M⊥PF1于M,则|MP|=|PF1|=a+c,所以|MF2|===,又设圆x2+y2=a2与直线PF1切于T,则|OT|=a,由|OT|=|F2M|得:a=,即3c2-2a2-2ac=0,同除以a2得3e2-2e-2=0(e1),解得e=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·大庆高二检测)已知双曲线-=1(a0,b0)和椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍,求双曲线的方程.【解析】由椭圆+=1,得a′2=16,b′2=9,c′2=a′2-b′2=7,所以a′=4,c′=,故椭圆离心率为e1==.因为双曲线与椭圆+=1有相同焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍,所以双曲线的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e2==,所以,a=2,b2=c2-a2=7-4=3.所以双曲线的方程为-=1.11.焦点在x轴上的双曲线,它的两条渐近线的夹角为,焦距为12,求此双曲线的方程及离心率.【解析】由已知可设双曲线的方程为-=1(a0,b0),所以两条渐近线为y=±x.因为两条渐近线的夹角为,故分两种情况,即y=x的倾斜角为或.当y=x的倾斜角为时,所以=tan=,所以=,即a2=3b2.又2c=12,所以c=6.由c2=a2+b2,得b2=9,a2=27.所以双曲线方程为-=1,e===.当y=x的倾斜角为时,所以=tan=,所以b2=3a2.又2c=12,所以c=6.由c2=a2+b2,得a2=9,b2=27.所以双曲线方程为-=1,e===2.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2013·福建高考)双曲线-y2=1的顶点到渐近线的距离等于()A.B.C.D.【解析】选C.双曲线的右顶点为(2,0),渐近线方程为x-2y=0,则顶点到渐近线的距离为=.【变式训练】(2013·福建高考)双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于()A.B.C.1D.【解题指南】先求顶点,后求渐近线方程,再用距离公式.【解析】选B.顶点到渐近线y=x的距离为.2.(2013·北京高考)双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是()A.mB.m≥1C.m1D.m2【解题指南】找出a2,b2,c2,表示出离心率,再解出m.【解析】选C.a2=1,b2=m,c2=1+m,e==,所以m1.3.(2014·唐山高二检测)设F1,F2分别是双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|,且cos∠PF1F2=,则双曲线的渐近线方程为()A.3x±4y=0B.4x±3y=0C.3x±5y=0D.5x±4y=0【解题指南】根据|PF2|=|F1F2|,结合双曲线的定义,可得出|PF1|=2a+2c,再由cos∠PF1F2=,找出的值.【解析】选B.作F2Q⊥PF1于Q,因为|F1F2|=|PF2|,所以Q为PF1的中点,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=2a+2c,故|F1Q|=a+c,因为cos∠PF1F2=,所以=cos∠PF1F2,即=,得3c=5a,所以3=5a,得=,故双曲线的渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0.4.(2014·青岛高二检测)已知F1,F2分别是双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的一点,⊥,且||=||,则双曲线的离心率为()A.B.1+C.2D.1+【解题指南】由于|PF1|=|PF2|又点P是靠近F2的那一支上的一点,则可根据双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,再结合|PF1|=|PF2|求出|PF1|,|PF2|的值,然后再根据F1F2⊥PF2推出|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2即可得出关于a,c的关系式从而可求出离心率e.【解析】选B.因为|PF1|=|PF2|,|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=2a(2+),|PF2|=2a(1+),因为F1F2⊥PF2,|F1F2|=2c,所以|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2,所以c2=(3+2)a2,所以e==1+.【变式训练】(2013·陕西高考)双曲线-=1的离心率为.【解题指南】利用双曲线的标准方程中c2=a2+b2及离心率的求解公式e=得解.【解析】由=得e2==,所以e=.答案:二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·哈尔滨高二检测)双曲线的离心率为2,则双曲线的两条渐近线所成的锐角是.【解析】由e==2,所以=2,即=,所以tanθ=(其中θ为一条渐近线的倾斜角).所以θ=60°,因此两条渐近线所成的锐角为60°.答案:60°6.(2014·重庆高考改编)设F1,F2分别为双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得=b2-3ab,则该双曲线的离心率为.【解析】由双曲线的定义知,=4a2,又=b2-3ab,所以4a2=b2-3ab,等号两边同除a2,化简得-3·-4=0,解得=4或=-1(舍去),故离心率e=====.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x2+y2=10相交于点P(3,-1),若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行,求此双曲线的方程.【解析】切点为P(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10,因为双曲线的一条渐近线平行于此切线,且双曲线关于两坐标轴对称.所以双曲线的渐近线方程为3x±y=0.当焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1(a0,b0),则其渐近线方程为y=±x,即=3,则双曲线方程可化为-=1,因为双曲线过点P(3,-1),所以-=1,所以a2=,b2=80,所以所求双曲线方程为-=1.当焦点在y轴上时,设双曲线方程为-=1(a0,b0),则渐近线方程为y=±x,即=3,则双曲线方程可化为-=1,因为双曲线过点P(3,-1),所以-=1,得-=1,无解.综上可知所求双曲线方程为-=1.【一题多解】切点为P(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10.因为双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称.所以双曲线的两条渐近线方程为3x±y=0,设所求的双曲线方程为9x2-y2=λ(λ≠0),因为点P(3,-1)在所求双曲线上,所以λ=80.所以所求双曲线方程为-=1.8.设F1,F2分别为双曲线-=1的左、右焦点,A1,A2分别为这个双曲线的左、右顶点,P为双曲线右支上的任意一点,求证:以A1A2为直径的圆既与以PF2为直径的圆外切,又与以PF1为直径的圆内切.【解题指南】设N,M分别是PF1,PF2的中点,只要证明|OM|=a+|PF2|,并且|ON|=|PF1|-a即可.注意点P在双曲线的右支上,F1,F2是双曲线的两个焦点,满足了运用定义的条件特征,故应从双曲线的定义入手去探索证明的途径.【证明】如图,以A1A2为直径的圆的圆心为O,半径为a,令M,N分别是PF2,PF1的中点,由三角形中位线的性质,得|OM|=|PF1|.又根据双曲线的定义,得|PF1|=2a+|PF2|,从而有|OM|=(2a+|PF2|)=a+|PF2|.这表明,两圆的圆心距等于两圆半径之和,故以A1A2为直径的圆与以PF2为直径的圆外切.同理,得|ON|=|PF2|=(|PF1|-2a)=|PF1|-a.这表明两圆的圆心距等于两圆半径之差,故以A1A2为直径的圆与以PF1为直径的圆内切.