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4.4生活中的优化问题举例双基达标（限时20分钟）1．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为()．A.l63πB.l33πC.l43πD.14l43π解析设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝l－4r2，V＝πr2h＝l2πr2－2πr30rl4.则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝l6，而r0，∴r＝l6是其唯一的极值点．∴当r＝l6时，V取得最大值，最大值为l63π.答案A2．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为()．A．2πr2B．πr2C．4πrD.12πr2解析设内接圆柱的高为h，底面半径为x，则由组合体的知识得h2＋(2x)2＝(2r)2，又圆柱的侧面积S＝2πxh，∴S2＝16π2(r2x2－x4)，(S2)′＝16π2(2r2x－4x3)，令(S2)′＝0得x＝22r(x＝0舍去)，∴Smax＝2πr2，故选A.答案A3．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝－x3900＋400x，0≤x≤390，90090，x390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()．A．150B．200C．250D．300解析由题意得，总利润P(x)＝－x3900＋300x－20000，0≤x≤390，70090－100x，x390，令P′(x)＝0，得x＝300，故选D.答案D4．有矩形铁板，其长为6，宽为4，现从四个角上剪掉边长为x的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则x＝________．解析可列出V＝(6－2x)(4－2x)·x，求导求出x的最大值．答案5－735．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．解析要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x米，则长为512x米，因此新墙壁总长度L＝2x＋512x(x0)，则L′＝2－512x2.令L′＝0，得x＝±16.∵x0，∴x＝16.当x＝16时，Lmin＝64，此时堆料场的长为51216＝32(米)．答案32；166．如图所示，已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．解设矩形边长AD＝2x，则|AB|＝y＝4－x2，则矩形面积为S＝2x(4－x2)(0x2)，即S＝8x－2x3，S′＝8－6x2，令S′＝0，解得x1＝23，x2＝－23(舍去)．当0x23时，S′0；当x23时，S′0，所以当x＝23时，S取得最大值，此时，S最大值＝3239.即矩形的边长分别为433，83时，矩形的面积最大．综合提高（限时25分钟）7．设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()．A.3VB.32VC.34VD．23V解析设底面边长为x，侧棱长为l，则V＝12x2·sin60°·l，∴l＝4V3x2，∴S表＝2S底＋3S侧＝x2·sin60°＋3·x·l＝32x2＋43Vx，S′表＝3x－43Vx2.令S′表＝0，∴x3＝4V，即x＝34V.又当x∈0，34V时，S′表0；当x∈34V，V，S′表0，∴当x＝34V时，表面积最小．答案C8．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是()．A.323cm2B．4cm2C．32cm2D．23cm2解析设一个正三角形的边长为xcm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个正三角形的面积之和为S＝34x2＋34(4－x)2＝32[(x－2)2＋4]≥23(cm2)，故选D.答案D9．在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时它的面积最大．解析如图，设∠OBC＝θ，则0θπ2，OD＝rsinθ，BD＝rcosθ.∴S△ABC＝rcosθ(r＋rsinθ)＝r2cosθ＋r2sinθcosθ.令S′＝－r2sinθ＋r2(cos2θ－sin2θ)＝0.∴cos2θ＝sinθ.∴1－2sin2θ＝sinθ，解之sinθ＝12，0θπ2.∴θ＝π6，即当θ＝π6时，△ABC的面积最大，即高为OA＋OD＝r＋r2＝3r2时面积最大．答案3r210．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．解析设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝27R2，要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·27R，∴S′(R)＝2πR－54πR2＝0，∴R＝3，则当R＝3时，S表最小．答案311．如图所示，在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解设箱子的底边长为xcm，则箱子高h＝60－x2cm.箱子容积V＝V(x)＝x2h＝60x2－x32(0x60)．求V(x)的导数，得V′(x)＝60x－32x2＝0，解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝40.当x在(0，60)内变化时，导数V′(x)的正负如下表：x(0，40)40(40，60)V′(x)＋0－因此在x＝40处，函数V(x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V(x)的最大值．将x＝40代入V(x)得最大容积V＝402×60－402＝16000(cm3)．所以，箱子底边长取40cm时，容积最大，最大容积为16000cm3.12．(创新拓展)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝mx－1.所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x＝256mx－1＋mx(2＋x)x＝256mx＋mx＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－256mx2＋12mx－12＝m2x2(x32－512)．令f′(x)＝0，得x32＝512，所以x＝64.当0x64时，f′(x)0，f(x)在区间(0，64)内为减函数；当64x640时，f′(x)0，f(x)在区间(64，640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值．此时n＝mx－1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y最小．