高二下期中数学试卷答案

金华一中高二（理科）数学期中试卷答案一、选择题：每小题5分，共50分题号12345678910选项BDCABDBACB二、填空题：每小题4分，共28分。11、111244abc12、2:3:(4)13、2314、115、1[1,]216、201017、3a三、解答题：本大题共5小题，共72分.18．如图，在四棱柱1111ABCDABCD中，1DDABCD面已知122DCDDADAB，ADDCABDC⊥，∥．(1)设E是DC的中点,求证:11//DEABD平面;(2)求二面角11ABDC的余弦值.(3)求点C到面1ABD的距离解：:(I)连结BE，则四边形DABE为正方形，11BEADAD，且11BEADAD，11ADEB四边形为平行四边形，11DEAB.1111DEABDABABD平面，平面，11.DEABD平面(II)以D为原点，1,,DADCDD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设1DA，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,2),(1,0,2).DABCA1(1,0,2),(1,1,0).DADB设(,,)nxyz为平面1ABD的一个法向量，由1,nDAnDB得200xyxy，取1z，则(2,2,1)n.设111(,,)mxyz为平面1CBD的一个法向量，由,mDCmDB得11112200yzxy，取11z,则(1,1,1)m.ABDCEA1B1D1C133cos,.393mnmnmn由于该二面角11ABDC为锐角，所以所求的二面角11ABDC的余弦值为3.3（3）(0,2,0)C，(1,1,0).CB点C到面1ABD的距离|||22|43||441CBndn19．观察下列等式：11，132，1353，13574，135795，13579116，...（1）猜想反映一般规律的数学表达式；（2）用数学归纳法证明该表达式．解：（1）135...(1)(21)(1)nnnn（2）证明：①n=1时，左式=右式=-1，等式成立②假设n=k时，等式成立，即135...(1)(21)(1)kkkk，则当n=k+1时，1111135...(1)(21)(1)(21)(1)(1)(21)(1)(21)(1)(1)kkkkkkkkkkkkk左式　　　　　　　　　右式即n=k+1时，等式成立根据①，②，等式对任意的*nN均成立。20．已知f(x)=x3-ax2-4x(a为常数)，若函数f(x)在x=2处取得一个极值，（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若经过点A（2，c），（c≠-8）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数c的取值范围；解：（1）2()324fxxax(2)12440fa2a2()344fxxx2()023fxxx由得或2()(,),(2,)3fx的单调递增区间是，2()(,2)3fx的单调递减区间是（2）f(x)=x3-2x2-4x设切点是320000(,24)xxxx，则2000()344fxxx322000000(24)(344)()yxxxxxxx切线方程为把点A（2，c）代入上式得3200028880xxxc()Ayfx过点可作的三条切线3228880xxxc有三个不同的实根设32()2888gxxxxc，则22()6168,()023gxxxgxxx令得或22()(,),(2,),233gx在上单调递增，在（）上单调递减由题意2()()03()(2)0gxggxg极大值极小值，解得280827c21．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=63，E是PB上任意一点（1）求证：AC⊥DE；（2）当△AEC面积的最小值是9时，求PD的长（3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在点G，使EG与面PAB所成角的正切值为2？若存在，求出BG的值，若不存在，说明理由．解：（1）∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AC∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC∴AC⊥面PBD∴AC⊥DE（2）记AC与BD交点为F，由（1）知，AC⊥EF当△AEC面积的最小值是9时，EF取得最小值3在△PBD中，当FE⊥PB时，EF最小，此时EB=2232BFEF由△BEF∽△BDP得EFPDEBBD,解得36PD(3)以点F为坐标原点，FB，FC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则(33,0,36),(33,0,0)PB11(63,0,36)(23,0,6)33EBPBABGCDPEF而33BCBGtBC（-3,3,0）,（-3t,3t,0）336EGEBBG（2-3t,3t,-）而面PAB的法向量(2,6,2)n由已知得2cos,5nEG，解得23t存在靠近点C的三等分点G满足题意22．设a∈R，函数2()(2)xfxaxxe（1）当a0时，求f(x)的极值点；（2）设f(x)在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围．解：（1）2()[2(1)2]xfxaxaxe①a=0时，()2(1)xfxxe令()2(1)01xfxxex得由()01fxx得，()01fxx得故1()xfx是的极小值点②a0时，令()0fx得2111aaxa，2211aaxa经检验得1x是极小值点，2x是极大值点（2）f(x)在[-1，1]上是单调函数，(0)20ff(x)在[-1，1]上是单调递减函数()0fx在[-1，1]上恒成立记2()()2(1)2gxfxaxax①a=0时，g(x)=2x-20在[-1，1]上恒成立②a0时，g(x)的图象开口向上，g(x)的最大值在x=-1或1处取得(1)0(1)0gg403a③a0时，对称轴111xa()(1)gxg的最大值为(1)000gaa与矛盾综上，403a