2012届湖北省示范学校 武穴中学高三2月月考（理科实验班）数学试题 2012-2-26

2012届湖北省示范学校武穴中学高三2月月考（理科实验班）数学试题2012-2-26一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分．）1．已知i是虚数单位，m、nR，且i1imn，则iimnmn（）A．1B．1C．iD．i2．下列函数中既是奇函数，又在区间1,1上是增函数的为（）A．yxB．sinyxC．xxyeeD．3yx3．“关于x的不等式220xaxa的解集为R”是“01a”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设na是公差不为0的等差数列，12a且136,,aaa成等比数列，则{}na的前5项和5S（）A．10B．15C．20D．305．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1B．1C．2D．06．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（）A.36B．8C．38D．127．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在20,45岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如上图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（）A．31.6岁B．32.6岁C．33.6岁D．36.6岁8．已知点P是抛物线24xy上的一个动点，则点P到点(2,0)M的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．172B．5C．22D．929.对于非空集合,AB，定义运算：{|,}ABxxABxAB且，已知}|{},|{dxcxNbxaxM，其中dcba、、、满足abcd，0abcd，则NM（）A.(,)(,)adbcB.(,][,)cabdC.(,)(,)cadbD.(,][,)acdb10.已知集合{(,)|,,}AxyxnynabnZ,{(,)|,Bxyxm2312,ymmZ}.若存在实数,ab使得AB成立,称点(,)ab为“￡”点，则“￡”点在平面区域22{(,)|108}Cxyxy内的个数是()A.0B.1C.2D.无数个二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．)11.已知向量a(,2)x，b(1,)y，其中0,0xy.若4ab，则12xy的最小值为.12.有6个座位连成一排，三人就座，恰有两个空位相邻的概率是_____.13.已知不等式组02,20,20xxykxy所表示的平面区域的面积为4，则k的值为__________14.下列所给命题中，正确的有（写出所有正确命题的序号）①任意的圆锥都存在两条母线互相垂直；②在ABC中，若4sin2cos1,2sin4cos33ABBA，则30150C或；③关于x的二项式41(2)xx的展开式中常数项是24；④命题2:,11PxRx；命题：2:,10qxRxx，则命题()Pq是真命题；⑤已知函数2()log(log)aafxxx的定义域是1(0,)2，则实数a的取值范围是11,.32215.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分。1(1).(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系下，已知直线l的方程为21)3cos(，则点CAPB)2,1(M到直线l的距离为__________.(2).(几何证明选讲选做题)如图，P为圆O外一点，由P引圆O的切线PA与圆O切于A点，引圆O的割线PB与圆O交于C点.已知ACAB，1,2PCPA.则圆O的面积为.三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)16.（本题满分12分）已知函数2()3sinsincosfxxxx，π[,π]2x.（Ⅰ）求()fx的零点；（Ⅱ）求()fx的最大值和最小值.17.（本题满分12分）已知数列}{na是等差数列,22,1063aa，数列}{nb的前n项和是nT，且131nnbT.（I）求数列}{na的通项公式；（II）求证：数列}{nb是等比数列；（III）记nnnbac，求证：nncc1.18.（本题满分12分）如图，三棱锥ABCP中，PB底面ABC，90BCA，2CABCPB，E为PC的中点，点F在PA上，且FAPF2.（1）求证：平面PAC平面BEF；（2）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.19.（本题满分12分）某人进行射击训练，击中目标的概率是54，且各次射击的结果互不影响.（Ⅰ）假设该人射击5次，求恰有2次击中目标的概率；（Ⅱ）假设该人每射击5发子弹为一组，一旦命中就停止，并进入下一组练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，求：①在完成连续两组练习后，恰好共使用了4发子弹的概率；②一组练习中所使用子弹数的分布列，并求的期望.20.（本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，直线l过点(4,0)A，(0,2)B，且与椭圆C相切于点P.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在过点(4,0)A的直线m与椭圆C相交于不同的两点M、N，使得23635APAMAN?若存在，试求出直线m的方程；若不存在,请说明理由.21.（本题满分14分）已知函数1()ln(1)1xfxaxx（0x，a为正实数）.（Ⅰ）若1a，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；（Ⅲ）若函数()fx的最小值为1，求a的取值范围.湖北省武穴中学高三2月月考（理科实验班）数学试题2012-2-26参考答案1—10DBABDACBDA11、94；12、35；13、1；14、○3○4；15、（1）213；（2）49；16、解：（Ⅰ）.令()0fx，得sin(3sincos)0xxx，所以sin0x，或3tan3x.由sin0x，π[,π]2x，得πx；由3tan3x，π[,π]2x，得5π6x.综上，函数)(xf的零点为5π6或π.（Ⅱ）：31π3()1cos2sin2sin(2)2232fxxxx（）.因为π[,π]2x，所以π2π5π2[]333x,.当π2π233x，即π2x时，)(xf的最大值为3；当π3π232x，即11π12x时，)(xf的最小值为312.解法二：（Ⅰ）：31π3()1cos2sin2sin(2)2232fxxxx（）.令()0fx，得π3sin(2)32x.因为π[,π]2x，所以π2π5π2[]333x,.所以，当π4π233x，或π5π233x时，()0fx.即5π6x或πx时，()0fx，综上，函数)(xf的零点为5π6或π.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，当π2π233x，即π2x时，)(xf的最大值为3；当π3π232x，即11π12x时，)(xf的最小值为312.17、解：（1）由已知.225,10211dada解得.4,21da；（2）由于nnbT311，①，令n=1，得.31111bb解得431b，当2n时，11311nnbT②，①－②得nnnbbb31311，141nnbb，又0431b,，∴数列}{nb是以43为首项，41为公比的等比数列.（3）由（2）可得.43nnbnnnnnbac4)24(3，.436304)24(34]2)1(4[3111nnnnnnnncc1n，故.01nncc.1nncc18、解：（1）证明：∵PB底面ABC，且AC底面ABC，∴ACPB，由90BCA，可得CBAC，又PBCBB，∴AC平面PBC，注意到BE平面PBC，∴ACBE，BCPB,E为PC中点，∴BEPC，PCACC，BE平面PAC，而BE平面BEF，∴BEFPAC平面平面；（2）方法一、如图，以B为原点、BC所在直线为x轴、BP为z轴建立空间直角坐标系.则)1,0,1(,)2,0,0(,)0,2,2(,)0,0,2(EPAC，1224(,,)3333BFBPPFBPPA.设平面BEF的法向量(,,)mxyz.由0,0mBFmBE得0343232zyx，即02zyx……………（1），0zx……（2）取1x，则1,1zy，(1,1,1)m.取平面ABC的法向量为)1,0,0(n则3cos,3||||mnmnmn，故平面ABC与平面PEF所成角的二面角（锐角）的余弦值为33.方法二、取AF的中点G，AB的中点M，连接,,CGCMGM，的中点为PCE，AFPF2，∴//EFCG，BEFEFBEFCG平面平面,，∴//CGBEF平面.同理可证：BEFGM平面//.又CGGMG，∴//CMGBEF平面平面.则CMG平面与平面ABC所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角），已知ABCPB底面，2BCAC，CM平面ABC∴CMPB，∴CMAB，又PBABB，∴CM平面PAB，由于GM平面PAB，∴CMGM，而CM为CMG平面与平面ABC的交线，又AM底面ABC，GM平面CMG，AMG为二面角ACMG的平面角根据条件可得2AM，33231PAAG，在PAB中，36cosAPABGAM，在AGM中，由余弦定理求得36MG，332cos222GMAMAGGMAMAMG，故平面ABC与平面PEF所成角的二面角（锐角）的余弦值为33.19、解：（I）设射击5次，恰有2次击中目标的事件为A，则62532)541()54()(3225CAP；（Ⅱ）①完成两组练习后，恰好共耗用4发子弹的事件为B,则0768.0088.0)8.01(8.0)8.01(8.0)8.01(8.0)8.01(8.0)(22BP.②可能取值为1，2，3，4，5.8.0)1(P;16.08.0)8.01()2(P2(3)(10.8)0.80.032P，0064.08.0)8.01()4(3P，0016.08.0)8.01()5(4P，的分布列为12345P0.80.160.0320.00640.00162496.1E.20、解：（Ⅰ）由题得过两点(4,0)A，(0,2)B直线l的方程为240xy.因为12ca，所以2ac，3bc.设椭圆方程为2222143xycc,由2222240,1,43xyxycc消去x得，224121230yyc.又因为直线l与椭圆C相切,所以221244(123)0c,解得21c，所以椭圆方程为22143xy.（Ⅱ）易知直线m的斜率存在,设直线m的方程为(4)ykx，由22(4),1,43ykxxy消去y，整理得2222(34)3264120kxkxk.由题意知2222(32)4(34)(6412)0kkk，解得1122k.设11(,)Mxy，22(,)Nxy，则21223234kxxk，2122641234kxxk.又直线:240lxy与椭圆22:143xyC相切，由22240,1,43xyxy解得31,2xy，所以3(1,)2P.则2454AP.所以3645813547AMAN.又22221122(4)(4)AMANxyxy2