不等式期中复习题及答案解析

不等式复习题一．选择题1.已知非零实数,ab满足ab，则下列不等式成立的是A、22abB、11abC、22ababD、22abba解析：法1：当0b时22abab，淘汰A；当0ab时11abab，淘汰B；当0ab时22ababab，淘汰C；故选D；法2：∵,ab为非零实数且满足ab∴33ab，即22abba，故选D；法3：代特殊值进行验证淘汰；2．已知四个条件，①b＞0＞a②0＞a＞b③a＞0＞b④a＞b＞0能推出ba11成立的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析：运用倒数法则，a＞b，ab＞0ba11，②、④正确.又正数大于负数，故选Ｃ.3.若cba、、是常数，则“0402caba且”是“对任意Rx，有02cxbxa”的()A．充分不必要条件.B．必要不充分条件.C．充要条件.D．既不充分也不必要条件.解析：易知0402caba且02cxbxa对任意Rx恒成立。反之，02cxbxa对任意Rx恒成立不能推出0402caba且反例为当00abc且时也有02cxbxa对任意Rx恒成立“0402caba且”是“对任意Rx，有02cxbxa的充分不必要条件,选A．4.已知x、y、z满足不等式组242yxxyy,则t=x2+y2+2x－2y+2的最小值为()A.95B.2C.3D.2解析:可行域如图,t=(x+1)2+(y－1)2表示点可行域内的点到A(－1,1)的距离的平方的最小值,由图知tmin=2.选D5.如果关于x的方程2230xaxa至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）（A）[2,2]（B）(3,2]（C）(3,2]（D）[3,2]解析：由230,a或2030aa，或,03,0,0)3(4222aaaa得，(3,2]a，故选C6.不等式222xx的解集是（）A、(1,0)(1,)B、(,1)(0,1)C、(1,0)(0,1)D、(,1)(1,)解析：法一：x+12x＞2x－2+12x＞011xxx）（＞0x（x－1）（x+1）＞0－1＜x＜0或x＞1.法二：验证，x=－2、21不满足不等式，排除B、C、D.答案：A7.不等式21logx1–log2x的解是（B）（A）x≥2（B）x1（C）1x8（D）x22222221log01log1log1log(1log)xxxxx，或221log01log0xx20log1x，或2log1x，故选B8.已知,1,abba则baba22的最小值是（）．A22B2C2D1解：记tba，则0t，baba2222222tttt，（当且仅当A(－1,1)xyOy=xx+2y=4y=－462622,,22tab即时取等号）．故选A．9.（2009安徽卷理）若不等式组03434xxyxy所表示的平面区域被直线43ykx分为面积相等的两部分，则k的值是（A）73（B）37（C）43（D）34[解析]：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC由3434xyxy得A（1，1），又B（0，4），C（0，43）∴S△ABC=144(4)1233，设ykx与34xy的交点为D，则由1223BCDSSABC知12Dx，∴52Dy∴5147,2233kk选A。10．(2009山东卷理)设x，y满足约束条件0,002063yxyxyx，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则23ab的最小值为().A.625B.38C.311D.4【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by=z（a0，b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,而23ab=2323131325()()26666abbaabab,故选A.答案:ABAxDyCOy=kx+43二．填空题11.若关于x的不等式－21x2+2x＞mx的解集为{x|0＜x＜2}，则实数m的值为_______.解析：由题意，知0、2是方程－21x2+（2－m）x=0的两个根，∴－212m=0+2.∴m=1.答案：112.已知不等式a≤||22xx对x取一切负数恒成立，则a的取值范围是____________.解析：要使a≤||22xx对x取一切负数恒成立，令t=|x|＞0，则a≤tt22.而tt22≥tt22=22，∴a≤22.答案：a≤2213．函数log(3)1(0,1)ayxaa的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn0,则1m+2n的最小值为解析:∵y=logax恒过(1,0)点,∴函数log(3)1ayx恒过(－2,－1)点,代入直线mx+ny+1=0中去,有2m+n=1,mn0,又∵1m+2n=(2m+n)(1m+2n)=4+nm+4mn≥4+24=8.当且仅当n=12,m=14时取=.三．解答题14．（本题满分13分）已知函数2lg(43)yxx定义域为M，求xM时，函数2()24xxfx的值域。x22yO-2z=ax+by3x-y-6=0x-y+2=0解析：由2430xx----------（1分）即(1)(3)0xx得13x所以|13Mxx------------------------（5分）由2222()24(2)42(22)4xxxxfx-------------（8分）xM当13x时0226x32()4fx---------------------------（11分）所以函数fx的值域是32,4---------------------------(13分)15．（本题满分14分）要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所：类型A规格B规格C规格第一种钢板121第二种钢板113每张钢板的面积：第一种为21m,第二种为22m。今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块．问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小?解：设需截第一种钢板工张x张，第二种钢板y张，所用钢板面积为2zm，（1分）则有122153270,0xyxyxyxy（5分）作出可行域（如图）（8分）目标函数为：2zxy作出一组平行直线2xyt（t为参数）．由327,12xyxy得915(,),22A（11分）由于点915(,)22A不是可行域内的整数点，而在可行域内的整数点中，点（4，8）和点（6，7）使z最小，且min42862720.z（13分）答：应截第一种钢板4张，第二种钢板8张，或第一种钢板6张，第二种钢板7张，得所需三种规格的钢板，且使所用的钢板的面积最小．（14分）16．（本题满分14分）5.12四川汶川大地震，牵动了全国各地人民的心，为了安置广大灾民，抗震救灾指挥部决定建造一批简易房（每套长方体状，房高2.5米），前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即：钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元.房顶用其它材料建造，每平方米材料费为200元.每套房材料费控制在32000元以内，试计算：（1）设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为p，试用,xy表示p；（2）求简易房面积S的最大值是多少？并求S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？（1）24502200200900400200Pxyxyxyxy………3分即900400200pxyxy………………………6分（2）Sxy，且32000p；由题意可得：2009004002002900400pSxySS…………8分200120032000SSp2()61600SS010100SS；……………………………………………9分当且仅当900400100xyxy203x取最大值；…………………………12分答：简易房面积S的最大值为100平方米，此时前面墙设计为203米.……14分17某乡为提高当地群众的生活水平,由政府投资兴建了甲、乙两个企业,2007年该乡从甲企业获得利润320万元,从乙企业获得利润720万元.以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增,而乙企业则为上一年利润的32.根据测算,该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题,达到8100万元可以达到小康水平.（1）若以2007年为第一年,则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年,该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？（2）试估算2015年底该乡能否达到小康水平？为什么？【解题思路】经审题抽象出数列模型[解析]（Ⅰ）若以2007年为第一年,则第n年该乡从这两家企业获得的利润为)1(,)32(720)23(32011nynnn=1111)32(9)23(4802])32(9)23(4[80nnnn=9606802当且仅当11)32(9)23(4nn,即n=2时,等号成立，所以第二年（2008年）上交利润最少，利润为960万元.由2000–960=1040（万元）知：还需另筹资金1040万元可解决温饱问题.（Ⅱ）2015年为第9年,该年可从两个企业获得利润889)32(720)23(320y1681812016168181320)23(3208810058120所以该乡到2015年底可以达到小康水平.18．（2009湖北卷文）（本小题满分12分）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。（Ⅰ）将y表示为x的函数：（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。解：（1）如图，设矩形的另一边长为am则2y-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=x360,所以y=225x+)0(3603602xx.(II)108003602252360225,022xxx104403603602252xxy.当且仅当225x=x2360时，等号成立.即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元..