广东省高州市大井中学2011届高三期末考试（数学文）

广东省高州市大井中学2011届高三期末考试数学试题（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．若i是虚数单位，则1i1i（）A．iB．1C．1D．i2．已知命题p：0xR，200220xx，那么下列结论正确的是（）A．0:pxR，200220xxB．:pxR，2220xxC．0:pxR，200220xxD．:pxR，2220xx3．已知等差数列{}na的前n项和为nS,且424aa，39S,则数列{}na的通项公式为、（）A．nanB．2nanC．21nanD．21nan4．“2m”是“直线(1)20mxy与直线(22)10mxmy相互垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．设0.51()2a，0.50.3b，0.3log0.2c，则,,abc的大小关系是（）A．abcB．abcC．bacD．acb6．已知定义在R上的函数11()2xfxm为奇函数，则m的值是（）A．0B．12C．12D．27．若(0,1)b，则方程20xxb有实根的概率为（）A．12B．13C．14D．348．．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为1210AAA，，，（如2A表示身高（单位：cm）在150155，内的学生人数）．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）Ａ．6iＢ．7iＣ．8iＤ．9i第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9．已知向量a，b满足1|a|=，4|b|=，a与b的夹角为120，则ab的值为_______．10．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为___________．11．在ABCV中，3,13,4ABBCAC，则A______，ABCSV___________．12．某班甲、乙两名同学进入高中以来5次数学考试成绩的茎叶图如图，甲、乙两人5次考试成绩的平均数与中位数之差较大者是___________．甲乙679743802091图1图2开始输入1210AAA，，，04siissAs输出1ii否是结束50100150200250300350400450500550600145150155160165170175180185190195人数/人身高/cmPACBDO13．若实数,xy满足50,210,10,xyxyy则2zxy的最小值为_______，最大值为_______．14．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．已知函数解析式为2()21fxx，值域为5,19的“孪生函数”共有_______个．三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．（本小题共12分）已知函数2()2cos2sincos1fxxxx．（Ⅰ）求函数)(xf的最小正周期；（Ⅱ）求函数)(xf在]2,0[上的最大值与最小值．16．（本小题共14分）在三棱锥PABC中，PAC和PBC是边长为2的等边三角形，2AB，,OD分别是,ABPB的中点．（Ⅰ）求证：OD∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC；（Ⅲ）求三棱锥PABC的体积．17．（本小题共13分）某中学高中学生有900名，学校要从中选出9名同学作为国庆60周年庆祝活动的志愿者．已知高一有400名学生，高二有300名学生，高三有200名学生．为了保证每名同学都有参与的资格，学校采用分层抽样的方法抽取．（Ⅰ）求高一、高二、高三分别抽取学生的人数；（Ⅱ）若再从这9名同学中随机的抽取2人作为活动负责人，求抽到的这2名同学都是高一学生的概率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求抽到的这2名同学不是同一年级的概率．18．（本小题共14分）已知函数32()6fxxax．（Ⅰ）当1a时，求曲线)(xfy在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数)(xfy的单调性．19．（本小题共14分）已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为22,离心率22e，过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当直线l的斜率为1时，求POQ的面积；（Ⅲ）若以,OPOQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程．20．（本小题共13分）已知数列{}na是首项为114a，公比14q的等比数列．设1423lognnba*()nN，数列{}nc满足nnncab．（Ⅰ）求证：数列{}nb成等差数列；（Ⅱ）求数列{}nc的前n项和nS；（Ⅲ）若2114ncmm对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案ABCACBCC二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）2（10）2423（11）3，33（12）乙（13）3,9（14）9三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（共12分）解：（Ⅰ）()sin2cos2fxxx2sin(2)4x．∴最小正周期22T．--------------------6分（Ⅱ）∵20x∴45424x∴当242x，即8x时，函数)(xf取得最大值2；当4542x，即2x时，函数)(xf取得最小值1．----------12分16．（共14分）（Ⅰ）,OD分别为,ABPB的中点，OD∥PA又PA平面PAC，OD平面PACOD∥平面PAC．----------5分（Ⅱ）连结OC，OP2ACCB，O为AB中点，2AB,OC⊥AB，1OC．同理,PO⊥AB，1PO．又2PC,2222PCOCPO,90POC．PO⊥OC．PO⊥OC,PO⊥AB,ABOCO,PO⊥平面ABC．PO平面PAB平面PAB⊥平面ABC．----------10分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知OP垂直平面ABCOP为三棱锥PABC的高，且1OP11112113323PABCABCVSOP．----------14分17．（共13分）解：（Ⅰ）样本容量与总容量的比为9:9001:100则高一、高二、高三应分别抽取的学生为14004100（人），13003100（人），12002100（人）．------4分（Ⅱ）设“抽到的这2名同学是高一的学生为事件A”则431()986PA．------8分（Ⅲ）设“抽到的这2名同学不是同一年级为事件B”则43423213()3618PB．------13分18．（共14分）解：2()312fxxax（Ⅰ）当1a时，)(xfy在点(1,(1))f处的切线斜率是15k，而(1)7f曲线)(xfy在点（1，)1(f）处的切线方程为：715(1)yx，即1580xy．-----6分（Ⅱ）令'2()3123(4)0fxxaxxxa120,4xxa（1）当40a，即0a时2()30fxx()fx在R上为增函数．（2）当40a，即0a时，在区间(,4),(0,)a内()0fx，在区间(4,0)a内()0fx．()fx在(,4),(0,)a内为增函数，在(4,0)a内为减函数．（3）当40a，即0a时，在区间(,0),(4,)a内()0fx，在区间(0,4)a内()0fx．()fx在(,0),(4,)a内为增函数，在(0,4)a内为减函数．--------14分19．（共14分）解：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为222210xyabab．----------------1分∵长轴长为22,离心率22e，∴1,2bca．所求椭圆方程为2212xy．----------------4分（Ⅱ）因为直线l过椭圆右焦点1,0F，且斜率为1，所以直线l的方程为1yx．设1122,,,PxyQxy，由2222,1,xyyx得23210yy，解得1211,3yy．∴1212112223POQSOFyyyy．---------------9分（Ⅲ）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为1x，此时POQ小于90，,OPOQ为邻边的平行四边形不可能是矩形．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为1ykx．由2222,1,xyykx可得2222124220kxkxk．∴22121222422,1212kkxxxxkk．11(1)ykx，22(1)ykx212212kyyk因为以,OPOQ为邻边的平行四边形是矩形0OPOQuuuruuur．由221212222201212kkOPOQxxyykkuuuruuur得22k，2k．所求直线的方程为2(1)yx．----------------14分20．（共13分）解：（Ⅰ）由已知可得，nnnqaa)41(11，nbnn3)41(log324123nbn,31nnbb}{nb为等差数列，其中11,3bd．----------------4分（Ⅱ）1(32)()4nnnncabnnnnS)41()23()41(7)41(441132①1432)41()23()41()53()41(7)41(4)41(141nnnnnS②①-②得1432)41()23(])41()41()41()41[(34143nnnnS112)41)(23(411])41(1[)41(341nnn1)41()23(21nn1)41(381232nnnS．----------------8分（Ⅲ）nnnc)41()23(nnnnnncc)41()23()41()13(1111311()[(32)]9()(1)444nnnnn当1n时，nncc1，当2n时，1nncc121()4nmaxccc．若2114ncmm对一切正整数n恒成立，则211144mm即可2450mm，即5m或1m．----------------13分w.w.w