2018人教A版选修1-1《第二章圆锥曲线与方程》质量检测试卷含解析

阶段质量检测（二）一、选择题1．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1，2)C.12，1D．(0，1)2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线方程为y＝43x，则双曲线的离心率为()A.53B.43C.54D.323．抛物线y2＝8x上一点P到焦点的距离为4，则P到坐标原点的距离为()A．5B．25C．42D.334．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线5．设P是双曲线x2a2－y29＝1(a＞0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝()A．1或5B．6C．7D．86．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于()A.12或32B.23或2C.12或2D.23或327．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c，0)(c＞0)作圆x2＋y2＝a24的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为()A.102B.105C.10D.28．已知双曲线x24－y212＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线上的一点，若|PF1|＝5，则△PF1F2最大内角的余弦值为()A．－110B.110C.35D．－359．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.x28＋y22＝1B.x212＋y26＝1C.x216＋y24＝1D.x220＋y25＝111．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60cm，灯深40cm，则抛物线的标准方程可能是()A．y2＝254xB．y2＝454xC．x2＝－452yD．x2＝－454y12．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为()A．y2－3x2＝36B．x2－3y2＝36C．3y2－x2＝36D．3x2－y2＝36二、填空题13．以双曲线x24－y212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．14．设F1，F2为曲线C1：x26＋y22＝1的焦点，P是曲线C2：x23－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为________．15．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝45，则C的离心率e＝________．16．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点与双曲线x2－y23＝1的右焦点F重合，抛物线的准线与x轴交于点K，点A在抛物线上且|AK|＝2|AF|，则△AFK的面积为________．三、解答题17．椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．18．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．19．如图所示，F1，F2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点1，32到F1，F2两点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F1PQ的面积．20．如图，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点A(0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.21．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为233，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离为32.(1)求双曲线C的方程；(2)直线y＝kx＋m(km≠0)与该双曲线C交于不同的两点C，D，且C，D两点都在以点A为圆心的同一圆上，求m的取值范围．22．已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C1：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点．C1与C2的公共弦的长为26.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，.(1)求C2的方程；(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．答案1.解析：选D由x2＋ky2＝2，得x22＋y22k＝1，又∵椭圆的焦点在y轴上，∴2k＞2，即0＜k＜1.2.解析：选A由ba＝43得b＝43a，∴c＝a2＋b2＝a2＋43a2＝53a.∴e＝ca＝53.3.解析：选B抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，由P到焦点的距离为4知，P到准线的距离为4，故P的横坐标xP＝2，y2P＝16，|PO|＝x2P＋y2P＝25.4.解析：选D由题意得，点P到直线x＝－2的距离与它到点(2，0)的距离相等，因此点P的轨迹是抛物线．5.解析：选C双曲线x2a2－y29＝1的一条渐近线方程为3x－2y＝0，故a＝2.又P是双曲线上一点，故||PF1|－|PF2||＝4，而|PF1|＝3，则|PF2|＝7.6.解析：选A设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k.若曲线C为椭圆，则2a＝6k，2c＝3k，∴e＝12；若曲线C为双曲线，则2a＝2k，2c＝3k，∴e＝32.7.解析：选A设双曲线右焦点为M，∵OE⊥PF，∴在直角三角形OEF中，|EF|＝c2－a24.又，∴E是PF的中点．∴|PF|＝2c2－a24，又O是FM的中点，∴MP⊥FP，∴|PM|＝a，又|PF|－|PM|＝2a，∴2c2－a24－a＝2a，∴离心率e＝ca＝102.8.解析：选B由双曲线定义知|PF2|＝|PF1|±2a.所以|PF2|＝9或|PF2|＝1＜c－a＝2(舍去)．又|F1F2|＝8，所以△PF1F2的最大内角为∠PF1F2，cos∠PF1F2＝52＋82－922×5×8＝110.9.解析：选D因为椭圆的离心率为32，所以e＝ca＝32，c2＝34a2＝a2－b2，所以b2＝14a2，即a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得x2a2＋x2b2＝1，即x24b2＋x2b2＝5x24b2＝1，所以x2＝45b2，x＝±25b，y2＝45b2，y＝±25b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为25b，25b，所以四边形的面积为4×25b×25b＝165b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆方程为x220＋y25＝1.10.11.解析：选C如果设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则抛物线过点(40，30)，从而有302＝2p×40，即2p＝452，所以所求抛物线方程为y2＝452x.虽然选项中没有y2＝452x，但C中的2p＝452符合题意．12.解析：选A由4x2＋y2＝64得x216＋y264＝1，c2＝64－16＝48，∴c＝43，e＝438＝32.∴双曲线中，c′＝43，e′＝23＝c′a′.∴a′＝32c′＝6，b′2＝48－36＝12.∴双曲线方程为y236－x212＝1，即y2－3x2＝36.13.解析：双曲线焦点(±4，0)，顶点(±2，0)，故椭圆的焦点为(±2，0)，顶点(±4，0)．答案：x216＋y212＝114.解析：由题意知|F1F2|＝26－2＝4，设P点坐标为(x，y)．由x26＋y22＝1，x23－y2＝1，得x＝±322，y＝±22.则S△PF1F2＝12|F1F2|·|y|＝12×4×22＝2.答案：215.解析：设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF为直角三角形，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|＝c＝5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|AF1|＝|BF|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝57.答案：5716.解析：由题意得p2＝2，p＝4，抛物线方程为y2＝8x，K(－2，0)，设A(x0，y0)，|AF|＝a，x0＝a－2，由|AK|＝2a得a2＋y20＝2a2，又y20＝8(a－2)，∴a2＝8(a－2)，解得a＝4.由已知可得|y0|＝a＝4.∴S△AFK＝12×4×4＝8.答案：817.解：①焦点在x轴上，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，且c＝13.设双曲线为x2m2－y2n2＝1(m＞0，n＞0)，m＝a－4.因为e双e椭＝73，所以am＝73，解得a＝7，m＝3.因为椭圆和双曲线的半焦距为13，所以b2＝36，n2＝4.所以椭圆方程为x249＋y236＝1，双曲线方程为x29－y24＝1.②焦点在y轴上，椭圆方程为x236＋y249＝1，双曲线方程为y29－x24＝1.18.解：(1)直线AB的方程是y＝22x－p2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4.由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4，4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0.从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4，42)．设＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y23＝8x3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.19.解：(1)由题设知，2a＝4，即a＝2，将点1，32代入椭圆方程得122＋322b2＝1，解得b2＝3，故椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)由(1)知A(－2，0)，B(0，3)，所以kPQ＝kAB＝32，所以PQ所在直线方程为y＝32(x－1)，由y＝32（x－1），x24＋y23＝1，得8y2＋43y－9＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝－32，y1·y2＝－98，所以|y1－y2|＝（y1＋y2）2－4y1y2＝34＋4×98＝212，所以S△F1PQ＝12|F1F2|·|y1－y2|＝12×2×212＝212.20.解：(1)由题意知ca＝22，b＝1，综合a2＝b2＋c2，解得a＝2，所以，椭圆的方程为x22＋y2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1，代入x22＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，则x1＋x2＝4k（k－1）1＋2k2，x1x2＝2k（k－2）1＋2k2，从而直线AP与AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝y1＋1x1＋y2＋1x2＝kx1＋2－kx1＋kx2＋2－kx2＝2k＋(2－k)1x1＋1x2＝2k＋(2－k)x1＋x2x1x2＝2k＋(2－k)4k（k－1）2k（k－2）＝2k－2(k－1)＝2.21.解：(1)x23－y2＝1.(2)y＝kx＋m，x23－y2＝1，消去y得，(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，由已知，1－3k2≠0且Δ＝12(m2＋1－3k2)＞0⇒m2＋1＞3k2.①设C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点P(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝3km1－3k2，y0＝kx0＋m＝m1－3k2，因为AP⊥CD，所以kAP＝m1－3k2＋13km1－3k2－0＝m＋1－3k23km＝－1k，整理得3k2＝4m＋1.②联立①②得m2－4m＞0，所以