常见递推数列通项的九种求解方法

常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。类型一：1()nnaafn（fn可以求和）解决方法累加法例1、在数列na中，已知1a=1，当2n时，有121nnaan2n，求数列的通项公式。解析：121(2)nnaann213243113521nnaaaaaaaan上述1n个等式相加可得：∴211naan2nan评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。【类型一专项练习题】1、已知11a，1nnaan（2n），求na。2、已知数列na，1a=2，1na=na+3n+2，求na。3、已知数列}a{n满足1a1n2aa1n1n，，求数列}a{n的通项公式。4、已知}{na中，nnnaaa2,311，求na。5、已知112a,112nnnaa*()nN,求数列na通项公式.6、已知数列na满足11,a1132,nnnaan求通项公式na？7、若数列的递推公式为1*113,23()nnnaaanN，则求这个数列的通项公式8、已知数列}a{n满足3a132aa1nn1n，，求数列}a{n的通项公式。9、已知数列na满足211a，nnaann211，求na。10、数列na中，12a，1nnaacn（c是常数，123n，，，），且123aaa，，成公比不为1的等比数列．（I）求c的值；（II）求na的通项公式．11、设平面内有n条直线(3)n≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()fn表示这n条直线交点的个数，则(4)f；当4n时，()fn（用n表示）．答案:1.(12nnna）2.(31)2nnna3.21nan4.21nna5.13122nna6.312nna7.1123nna8.31nnan9.312nan10.(1)2(2)22nann11.(1)5(2)222nn类型二：1()nnafna（()fn可以求积）解决方法累积法例1、在数列na中，已知11,a有11nnnana，(2n)求数列na的通项公式。解析：1232112321nnnnnnnaaaaaaaaaaaa123211143nnnnnn21n又1a也满足上式；21nan*()nN评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。【类型二专项练习题】1、已知11a，111nnnaan(2n)，求na。2、已知数列na满足321a，nnanna11，求na。3、已知}{na中，12nnnaan，且12a，求数列}{na的通项公式.4、已知31a，nnanna23131)1(n，求na。5、已知11a,1()nnnanaa*()nN,求数列na通项公式.6、已知数列na满足11,a12nnnaa，求通项公式na？7、已知数列}a{n满足3aa5)1n(2a1nn1n，，求数列}a{n的通项公式。8、已知数列{an}，满足a1=1，1321)1(32nnanaaaa(n≥2)，则{an}的通项9、设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)a21n-na2n+an+1·an=0(n=1,2,3,…)，求它的通项公式.10、数列}{na的前n项和为nS，且11a，nS＝*)(2Nnann，求数列}{na的通项公式.答案：1.22nann2.23nan3.41nann4.631nan5.nan6.222nnna7.2123!25nnnnan8.1!2nan12nn9.1nan10.22nann类型三：1(nnaAaB其中A,B为常数A0,1）解决方法待定常数法可将其转化为1()nnatAat，其中1BtA，则数列nat为公比等于A的等比数列，然后求na即可。例1在数列na中，11a，当2n时，有132nnaa，求数列na的通项公式。解析：设13nnatat，则132nnaat1t，于是1131nnaa1na是以112a为首项，以3为公比的等比数列。1231nna【类型三专项练习题】1、在数列na中，11a，123nnaa，求数列na的通项公式。2、若数列的递推公式为*111,22()nnaaanN，则求这个数列的通项公式3、已知数列{an}中，a1=1，an=21a1n+1(2)n求通项an．4、在数列{}na(不是常数数列)中,1122nnaa且113a,求数列{}na的通项公式.5、在数列{an}中，,13,111nnaaa求na.6、已知数列na满足*111,21().nnaaanN求数列na的通项公式.7、设二次方程nax2-1.＋nax+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用na表示a1n；（2）求证：数列23na是等比数列；（3）当176a时，求数列na的通项公式8、在数列na中，nS为其前n项和，若132a，22a，并且113210(2)nnnSSSn≥，试判断1()nanN是不是等比数列？答案：1.32nna2.122nna3.122nna4.111423nna5.1132nna6.21nna7.(1)11123nnaa(3)2132nna8.是类型四：110nnnAaBaCa；其中A,B,C为常数，且ABC0可将其转化为112nnnnAaaaan-----（*）的形式，列出方程组ABC,解出,;还原到（*）式，则数列1nnaa是以21aa为首项，A为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出na。例1在数列na中，12a，24a，且1132nnnaaa2n求数列na的通项公式。解析：令11(),(2)nnnnaaaan得方程组32解得1,2;1122nnnnaaaan则数列1nnaa是以21aa为首项，以2为公比的等比数列11222nnnnaa21232343112222nnnaaaaaaaa112(12)2212nnnaa*2nnanN评注：在110nnnAaBaCa；其中A,B,C为常数，且ABC0中，若A+B+C=0,则一定可以构造1nnaa为等比数列。例2已知12a、23a,116nnnaaa(2)n,求na解析：令112nnnnaaaan，整理得11nnnaaa163,21112133292nnnnaaaa；两边同除以12n得，11392224nnnnaa，令2nnnab，13924nnbb令132nnbtbt，得13522nnbbt59,24t∴910t193910210nnbb，故910nb是以119911021010ab为首项，32为公比的等比数列。191310102nnb，191310102nnb即1913101022nnna，得19123105nnna【类型四专项练习题】1、已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na。2、已知a1=1，a2=53，2na=531na-23na,求数列｛na｝的通项公式na.3、已知数列na中，nS是其前n项和，并且1142(1,2,),1nnSana，⑴设数列),2,1(21naabnnn，求证：数列nb是等比数列；⑵设数列),2,1(,2nacnnn，求证：数列nc是等差数列；⑶求数列na的通项公式及前n项和。1223(1)2;nnnan31)22nnsn（4、数列na：213520(1,)nnnaaannN，baaa21,，求数列na的通项公式。答案：1.1311143nna2.2333nna3.(3)1223(1)2;nnnan31)22nnsn（4.12323()3nnabaab类型五：1()nnapafn（0p且1p）一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。例1设在数列na中，11a，112122nnaann求数列na的通项公式。解析：设nnbaAnb1112nnaAnBaAnB展开后比较得204261022AAABB这时11462nnnnbbann2且bnb是以3为首项，以12为公比的等比数列1132nnb即113462nnan，113462nnan例2在数列na中，12a，11222nnnaan求数列na的通项公式。解析：11222nnnaan1122nnnaa，两边同除以2n得11222nnnnaa2nna是以12a=1为首项，2为公差的等差数列。112212nnann即221nnan例3在数列na中，15a，*12212,nnnaannN求数列na的通项公式。解析：在1221nnnaa中，先取掉2n，得121nnaa令12nnaa，得1，即112(1)nnaa；然后再加上2n得11212nnnaa；11212nnnaa两边同除以2n，得11111;22nnnnaa12nna是以1122a为首项，1为公差的等差数列。12112nnann，211nnan评注：若()fn中含有常数，则先待定常数。然后加上n的其它式子，再构造或待定。例4已知数列}a{n满足1a425a3a1nn1n，，求数列}a{n的通项公式。解析：在13524nnnaa中取掉52n待定令13nnatat，则132nnaat24t，2t；1232,nnaa再加上52n得，123252nnnaa，整理得：1122352222nnnnaa，令22nnnab，则13522nnbb令13,2nnbtbt1322nntbb；5,5;22tt即