2020-2021学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学九年级(上)期中数学试卷-(含解析)

2020-2021学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC＝40°，则∠A等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°2．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．3．一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB＝8dm，DC＝2dm，则圆形标志牌的半径为（）A．6dmB．5dmC．4dmD．3dm4．已知二次函数y＝﹣x2+2mx，以下点可能成为函数顶点的是（）A．（﹣2，4）B．（1，2）C．（﹣1，﹣1）D．（2，﹣4）5．已知一元二次方程x2+bx﹣3＝0的一根为﹣3，在二次函数y＝x2+bx﹣3的图象上有三点、、，y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y26．已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．x1＜﹣1＜2＜x2B．﹣1＜x1＜2＜x2C．﹣1＜x1＜x2＜2D．x1＜﹣1＜x2＜27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，图象经过（1，0），下列结论中，正确的一项（）A．c＞0B．4ac﹣b2＞0C．9a+c＞3bD．5a＞b8．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：①把△ABF翻折，点B落在C边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上；②把△ADH翻折，点D落在AE边上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上，若AD＝6，CD＝10，则＝（）A．B．C．D．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝7，CE＝5，则AE＝（）A．3B．C．D．10．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3，下列结论①∠AED＝∠ADC；②AC•BE＝12；③；④3BF＝4AC，其中结论正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6小题）.11．（4分）如图，已知D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，S四边形DBCE＝8S△ADE，那么AE：AC等于．12．（4分）写一个实数m的值，使得二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x+3，当x＜﹣3时，y随x的增大而减小．13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是．14．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝．15．（4分）已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于．16．（4分）在△ABC中，点A到直线BC的距离为d，AB＞AC＞d，以A为圆心，AC为半径画圆弧，圆弧交直线BC于点D，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，若BC＝4，DE＝1，∠EDA＝∠ACD，则AD＝．三、解答题：7小题，共66分17．已知抛物线y1＝ax2+bx+c的顶点A是直线y2＝2x与y3＝﹣2x+4的交点，且经过直线y3＝﹣2x+4与y轴的交点B．（1）求点A的坐标；（2）求抛物线的表达式；（3）写出当y1＞y3时x的取值范围．18．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD⊥AC于点D，延长DO交⊙O于点E，连接EC、EB、BC，若AC＝6，OD＝．（1）求⊙O的直径；（2）求△BEC的面积．19．如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高．（1）证明：△ABD∽△CBE；（2）若△ABC和△BDE的面积分别是24和6，DE＝2，求点B到直线AC的距离．20．把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方体形盒子（纸板的厚度忽略不计），（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体形盒子．要使折成的长方形体盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？（2）在（1）中，折成的长方体形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．21．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E＝∠C；（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若AB＝10，E是的中点，求EG•ED的值．22．在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式y＝ax2+（a+1）x，其中a≠0．（1）若此函数图象过点（1，﹣3），求这个二次函数的表达式；（2）函数y＝ax2+（a+1）x（a≠0），若（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，①若x1+x2＝2，则y1＝y2，试求a的值；②当x1＞x2≥﹣2，对任意的x1，x2都有y1＞y2，试求a的取值范围．23．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以点D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过A作AF⊥AD交射线DE于F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，写出此时BD的长；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：每小题3分，共30分1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC＝40°，则∠A等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】由等腰三角形的性质得出∠OCB＝∠OBC＝40°，由三角形内角和定理得出∠BOC＝100°，由圆周角定理得出∠A＝∠BOC＝50°即可．解：∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠A＝∠BOC＝50°，故选：B．2．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．故选：B．3．一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB＝8dm，DC＝2dm，则圆形标志牌的半径为（）A．6dmB．5dmC．4dmD．3dm【分析】连接OA，OD，利用垂径定理解答即可．解：连接OA，OD，∵点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．AB＝8dm，DC＝2dm，∴AD＝4dm，设圆形标志牌的半径为r，可得：r2＝42+（r﹣2）2，解得：r＝5，故选：B．4．已知二次函数y＝﹣x2+2mx，以下点可能成为函数顶点的是（）A．（﹣2，4）B．（1，2）C．（﹣1，﹣1）D．（2，﹣4）【分析】根据顶点公式求得顶点坐标为（m，m2），即可得出横坐标和纵坐标的关系，然后就能确定可能的顶点．解：∵a＝﹣1，b＝2m，c＝0，∴﹣＝﹣＝m，＝＝m2，∴顶点坐标为（m，m2），∴可能成为函数顶点的是（﹣2，4），故选：A．5．已知一元二次方程x2+bx﹣3＝0的一根为﹣3，在二次函数y＝x2+bx﹣3的图象上有三点、、，y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2【分析】方法1、将x＝﹣3代入x2+bx﹣3＝0中，求b，得出二次函数y＝x2+bx﹣3的解析式，再根据抛物线的对称轴，开口方向确定增减性，比较y1、y2、y3的大小关系．方法2，先求出b的值，代入抛物线解析式中，再将横坐标代入，求出y值，最后比较大小．解：方法1、把x＝﹣3代入x2+bx﹣3＝0中，得9﹣3b﹣3＝0，解得b＝2，∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3，抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣＝﹣1，∵﹣＜﹣1＜﹣＜，且﹣1﹣（﹣）＝，﹣﹣（﹣1）＝，而＞，∴y1＜y2＜y3．故选A．方法2、把x＝﹣3代入x2+bx﹣3＝0中，得9﹣3b﹣3＝0，解得b＝2，∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3，当x＝﹣时，y1＝（﹣）2+2×（﹣）﹣3＝﹣3＝﹣3.96，当x＝﹣时，y2＝（﹣）2+2×（﹣）﹣3＝﹣3＝﹣3.9375，当x＝时，y3＝（）2+2×﹣3＝﹣2，∴y1＜y2＜y3．故选：A．6．已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．x1＜﹣1＜2＜x2B．﹣1＜x1＜2＜x2C．﹣1＜x1＜x2＜2D．x1＜﹣1＜x2＜2【分析】可以将关于x的方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2看作直线y＝m与二次函数y＝（x+1）（x﹣2）交点的横坐标，而与x轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得，结合图象可以求出x1与x2的取值范围，进而做出判断．解：二次函数y＝（x+1）（x﹣2）的图象如图所示：它与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（2，0），关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2，可以看作是直线y＝m（m＞0）与二次函数y＝（x+1）（x﹣2）交点的横坐标，由图象可知x1＜﹣1，x2＞2；∴x1＜﹣1＜2＜x2，故选：A．7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，图象经过（1，0），下列结论中，正确的一项（）A．c＞0B．4ac﹣b2＞0C．9a+c＞3bD．5a＞b【分析】先根据题意画出草图，再由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣2，图象经过（1，0），∴抛物线与x轴另一交点为（﹣5，0），∴抛物线与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，B选项错误；画出草图，可知抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，A选项错误；由图象可知，x＝﹣3时，y＜0，即9a﹣3b+c＜0，则9a+c＜3b，C选项错误；∵＝﹣2，∴b＝4a．∵图象开口向上，∴a＞0，∴a+b＞b，∴a+4a＞b，即5a＞b，D选项正确．故选：D．8．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：①把△ABF翻折，点B落在C边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上；②把△ADH翻折，点D落在AE边上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上，若AD＝6，CD＝10，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用翻折不变性可得AE＝AB＝10，推出DE＝8，EC＝2，设BF＝EF＝x，在Rt△EFC中，x2＝22+（6﹣x）2，可得x＝，设DH＝GH＝y，在Rt△EGH中，y2+42＝（8﹣y）2，可得y＝3，由此即可解决问题．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，由翻折不变性可知：AB＝AE＝10，AD＝AG＝6，BF＝EF，DH＝HG，∴EG＝4，在Rt△ADE中，DE＝＝＝8，∴EC＝10﹣8＝2，设BF＝EF＝x，在Rt△EFC中有：x2＝22+（6﹣x）2，∴x＝，设DH＝GH＝y，在Rt△EGH中，y2+42＝（8﹣y）2，∴y＝3，∴EH＝5，∴＝＝，故选：A．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝7，CE＝5，则AE＝（）A