2017年上海市各区数学二模压轴题图文解析

本解析由华东师范大学出版社《挑战压轴题》作者马学斌老师独家提供。可作学习材料，切勿做其他用途。更多信息，欢迎关注“挑战压轴题”微信公众号（tiaozhanyazhouti).《2017年上海市各区中考数学二模压轴题图文解析》目录2017年上海市宝山区中考模拟第24、25题/22017年上海市崇明区中考模拟第24、25题/62017年上海市奉贤区中考模拟第24、25题/102017年上海市虹口区中考模拟第24、25题/142017年上海市黄浦区中考模拟第24、25题/182017年上海市嘉定区中考模拟第24、25题/232017年上海市静安区中考模拟第24、25题/272017年上海市闵行区中考模拟第24、25题/312017年上海市浦东新区中考模拟第24、25题/342017年上海市普陀区中考模拟第24、25题/382017年上海市松江区中考模拟第24、25题/422017年上海市徐汇区中考模拟第24、25题/472017年上海市杨浦区中考模拟第24、25题/522017年上海市长宁区青浦区金山区中考模拟第24、25题/552017年上海市宝山区中考模拟第18题/592017年上海市崇明区中考模拟第18题/602017年上海市奉贤区中考模拟第18题/612017年上海市虹口区中考模拟第18题/622017年上海市黄浦区中考模拟第18题/632017年上海市嘉定区中考模拟第18题/642017年上海市静安区中考模拟第18题/652017年上海市闵行区中考模拟第18题/662017年上海市浦东新区中考模拟第18题/672017年上海市普陀区中考模拟第18题/682017年上海市松江区中考模拟第18题/692017年上海市徐汇区中考模拟第18题/702017年上海市杨浦区中考模拟第18题/712017年上海市长宁区青浦区金山区中考模拟第18题/722015年上海市中考第24、25题/732016年上海市中考第24、25题/77例2017年上海市宝山区中考模拟第24题如图1，已知直线yx与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线12212yxbx22与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是上述抛物线上一点，如果△ABM和△ABC相似，求点M的坐标；（3）联结AC，求顶点D、E、F、G在△ABC各边上的矩形DEFG面积最大时，写出该矩形在AB边上的顶点的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“17宝山24”，拖动点D在BC上运动，可以体验到，当点D是BC的中点时，矩形DEFG的面积最大，最大值是△ABC面积的一半．思路点拨1．第（2）题△ABM和△ABC相似，只存在这两个三角形全等的情形，此时M、C关于抛物线的对称轴对称．2．第（3）题的矩形DEFG存在两种情况．用二次函数表示矩形的面积，求二次函数的最大值，然后看看最大值时矩形顶点的位置具有什么特殊性．图文解析（1）由1yx2，得B(4,0)，C(0,－2)．2将点B(4,0)代入y1x2bx2，得8＋4b－2＝0．解得3b．22所以抛物线的解析式为12321(1)(4)yxxxx．所以A(－1,0)．222（2）如图2，由A(－1,0)、B(4,0)、C(0,－2)，可得tan∠CAO＝tan∠BCO＝2．又因为∠CAO与∠ACO互余，所以∠BCO与∠ACO互余．所以△ABC是直角三角形．过点A、B分别作x轴的垂线，不可能存在点M．所以只存在∠AMB＝90°的情况，此时点M在x轴的下方（如图3所示）．图2图32如图3，如果△ABM和△ABC相似，那么△ABM≌△BAC．所以点M与点C关于抛物线的对称轴对称，点M的坐标为(3,－2)．（3）矩形DEFG有两种情况：1①如图4，在AB边上的顶点有两个，坐标分别为(2,0)和(,0)．23②如图5，在AB边上的顶点有一个，坐标为(,0)．2考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：在Rt△ABC中，AB＝5，高CO＝2．情形一，如图4，F、G两点在AB上．设DE＝m，DG＝n．根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，得2．所以5(2)nmnm．252所以S＝mn＝52nn＝5(1)25(2)n．22所以当n＝1时，矩形DEFG的面积最大．几何意义是D为BC的中点时，矩形的面积最大，最大值是△ABC面积的一半．情形二，如图5，点G在AB上．同样的，设DE＝m，DG＝n．由BDDG，得25．所以25n．mnmBEEA2255所以S＝mn＝(25)mm2＝1(5)25m．22所以当m5时，矩形DEFG的面积最大．几何意义是D为BC的中点时，矩形的面积最大，最大值也是△ABC面积的一半．此时点G为AB的中点．图4图53例2017年上海市宝山区中考模拟第25题如图1，在△ABC中，∠ACB为直角，AB＝10，∠A＝30°，半径为1的动圆Q的圆心从点C出发，沿着CB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点B出发，沿着BA方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5），以P为圆心、PB为半径的⊙P与AB、BC的另一个交点分别为E、D，联结ED、EQ．（1）判断并证明ED与BC的位置关系，并求当点Q与点D重合时t的值；（2）当⊙P和AC相交时，设CQ为x，⊙P被AC解得的弦长为y，求y关于x的函数解析式，并求当⊙Q过点B时⊙P被AC截得的弦长；（3）若⊙P与⊙Q相交，写出t的取值范围．图1动感体验请打开几何画板文件名“17宝山25”，拖动Q由C向B运动，可以体验到，⊙P与⊙Q的位置关系依次为外离、外切和相交．思路点拨1．第（1）题Q、D重合时，根据CQ＋BD＝BC列关于t的方程．2．第（2）题⊙Q过点B时，CQ＝5－1＝4．3．第（3）题求⊙P与⊙Q相交，先求临界位置外切时t的值．图文解析（1）如图2，根据直径所对的圆周角是直角，可以知道ED⊥BC．在Rt△ABC中，AB＝10，∠A＝30°，所以BC＝5．在Rt△BDE中，BE＝2BP＝2t，∠BED＝30°，所以BD＝t，DE＝3t．如图3，当点Q与点D重合时，BD＋CQ＝BC＝5．所以2t＝5．解得t＝2.5．图2图3（2）如图4，设⊙P和AC相交于M、N两点．作PH⊥MN于H，那么MH＝NH．在Rt△PAH中，PA＝10－t，∠A＝30°，所以PH＝12(10t)t．＝512在Rt△PMH中，PM＝PB＝t，由勾股定理，得MH2＝PM2－PH2＝2(51)2tt．2于是得到y＝MN＝2MH＝3t220t100．4如图5，当⊙Q过点B时，CQ＝x＝4，此时MN＝y＝316204100＝27．图4图5（3）当⊙P与⊙Q相交时，t的取值范围是17974＜t≤5．考点伸展第（3）题的解题过程分三步：第一步，罗列三要素．对于圆P，rP＝t；对于圆Q，rQ＝1；圆心距PQ需要求一下．如图6，作PF⊥BC于F．在Rt△PFQ中，由勾股定理，得PQ＝(3)2(53)2tt．22第二步，列方程．如图7，当⊙P与⊙Q外切时，rP＋rQ＝PQ．所以t1(3t)2(53t)2．整理，得2t2－17t＋24＝0．解得1797t．224第三步，写结论．图6图75例2017年上海市崇明区中考模拟第24题如图1，已知抛物线y＝ax2－2x＋c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0,1)，点B(9,10)，AC//x轴．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求tan∠ABC的值；（3）若点D为抛物线的顶点，点E是直线AC上一点，当△CDE与△ABC相似时，求点E的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“17崇明24”，拖动点E在点C左侧运动，可以体验到，△CDE与△ABC相似存在两种情况．思路点拨1．求tan∠ABC的值，首先要将∠ABC放在某个直角三角形中．作AB边上的高CH以后，有两种解法：一种解法是∠BAC＝45°为特殊值；另一种解法是一般性的，已知三角形的三边，作高不设高，设AH＝m．2．探究△CDE与△ABC相似，首选的方法是寻找一组等角，然后按照对应边成比例分两种情况列方程．图文解析c1,（1）将A(0,1)、B(9,10)两点分别代入y＝ax2－2x＋c，得81a18c10.13解得a＝，c＝1．所以这条抛物线的解析式为1221yxx．3（2）由于AC//x轴，抛物线的对称轴为x＝3，所以C(6,1)．如图2，作BM⊥AC，垂足为M．作CH⊥AB于H．由A(0,1)、B(9,10)，可知AM＝BM＝9，所以∠BAC＝45°，AB＝92．在Rt△ACH中，AC＝6，所以AH＝CH＝32．在Rt△BCH中，BH＝AB－AH＝62，所以tan∠ABC＝CHBH＝3262＝12．6（3）由12211(3)22yxxx，得顶点D的坐标为(3,－2)．33由C(6,1)、D(3,－2)，可知∠ACD＝45°，CD＝32．当点E在点C左侧时，∠DCE＝∠BAC．分两种情况讨论△CDE与△ABC相似：①当CEAB时，CE92．解得CE＝9．此时E(－3,1)（如图3所示）．CDAC326②CEAC时，CE6．解得CE＝2．此时E(4,1)（如图4所示）．CDAB3292图2图3图4考点伸展第（2）题还有一般的解法：如图2，△ABC的三边长是确定的，那么作AB边上的高CH，设AH＝m，就可以求得AH，进而求得CH、BH的长．由A(0,1)、B(9,10)、C(6,1)，可得AB＝92，BC＝310，AC＝6．由CH2＝CA2－AH2，CH2＝CB2－BH2，得CA2－AH2＝CB2－BH2．解方程62m2(310)2(92m)2，得m32．于是得到BH＝62，CH＝32．7例2017年上海市崇明区中考模拟第25题如图，梯形ABCD中，AB//CD，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，tanD＝2，点E是射线CD上一动点（不与点C重合），将△BCE沿着BE进行翻折，点C的对应点记为点F．（1）如图1，当点F落在梯形ABCD的中位线MN上时，求CE的长；S（2）如图2，当点E在线段CD上时，设CE＝x，△BFCS△EFC＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如图3，联结AC，线段BF与射线CA交于点G，当△CBG是等腰三角形时，求CE的长．图1图2图3动感体验请打开几何画板文件名“17崇明25”，拖动点E运动，可以体验到，等腰三角形BCG存在三种情况，每种情况的点G的位置都具有特殊性．思路点拨1．第（1）题点F到AB的距离等于BF的一半，得到∠FBA＝30°．2．第（2）题△BFC与△EFC的面积比等于BH与EH的比，通过Rt△BCH∽Rt△CEH得到BH与EH的比．3．第（3）题先求CG的长，再求CE的长．延长BF交CD的延长线于K，得到△KEF∽△KBC．图文解析（1）如图4，在Rt△FNB中，BN＝所以∠BFN＝30°．12BC＝12BF，所以∠FBA＝30°．所以∠FBC＝60°．所以∠FBE＝∠CBE＝30°．＝833所以CE＝BCtan30°＝833．图4（2）如图5，设BE垂直平分FC于点H，那么∠CBH＝∠ECH．所以△CBH∽△ECH．S所以CBH△BH＝()2＝64x2S．所以y＝BFC△＝2S△CBHC2S△ECH＝64x2．S△ECHEHS△EFC定义域是0＜x≤10．8图5图6（3）①如图6，当CG＝CB＝8时，AG＝2．CKCG延长BF交CD的延长线于K．由4，得CK＝4AB＝24．ABAG13在Rt△KBC中，BC＝8，CK＝24，所以tan∠K＝．所以sin∠K＝1010．在Rt△KEF中，FE＝CE＝x，EK＝CK－CE＝24－x．由sin∠K＝FEEK＝1010，得10x24x10．解得x＝CE＝81083．②如图7，当GC＝GB时，点G在BC的垂直平分线上，此时四边形ABCK为矩形．在Rt△EKF中，sin∠EKF＝BCBK＝810＝45，FE＝CE＝x，KE＝CK－CE＝6－x．所以4x6x5．解得x＝CE＝83．③如图8，当BG＝BC＝8时，由于BC＝BF，所以F、G重合．此时BE⊥AC．由ta