52.高考数学专题26-平面向量(知识梳理)(理)(解析版)

专题26平面向量（知识梳理）一、向量的概念及表示1、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量。(没有位置、不能比较大小)(1)数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。(2)向量的表示方法：①具有方向的线段，叫做有向线段，以A为始点，B为终点的有向线段记作AB，AB的长度记作||AB。用有向线段AB表示向量，读作向量AB；(有向线段的三要素：起点、方向、长度)②用小写字母表示：a、b。(印刷时，用黑体小写字母，手写时，小写字母要带箭头)(3)向量与有向线段的区别和联系：①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段；③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。2、向量的模：向量AB的大小――长度称为向量的模，记作||AB。(能比较大小)3、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作0。(注意0与0的含义与书写区别)4、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量a共线的单位向量||0aaa。说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。5、平行向量：(1)若非零向量a、b的方向相同或相反，则ba//，又叫共线向量；(2)规定0与任一向量平行。说明：综合(1)(2)才是平行向量的完整定义；三点A、B、C共线AB、AC共线；向量平行无传递性，即ba//，cb//不能推出cba////(b可能为0)。注意：共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同。6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。说明：①平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；②共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系。7、相等向量：若非零向量a、b方向相同且模相等，则向量a、b是相等向量。(1)相等向量：ba模相等，方向相同；(2)相反向量：ba模相等，方向相反。说明：任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。二、向量的加法1、三角形法则原理已知向量a、b，在平面上任取一点A，作aAB，bBC，再作向量AC，则向量AC叫做a与b的和(或和向量)，记作ba，即ACBCABba。图示注意：(1)和向量的始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点．(2)零向量与任一向量a的和都有aaa00。2、平行四边形法则原理已知两个不共线向量a、b，作aAB，bBC，则A、B、D三点不共线，以AB、AD为邻边作平行四边形，则对角线上的向量baAC，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。图示3、多边形法则原理已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。图示4、向量加法的运算律运算律交换律abba结合律)()(cbacba三、向量的减法1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；(2)aa)(；(3)0)()(aaaa；(4)若a与b互为相反向量，则ba，ab，0ba。注意：相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量。2、向量的减法：已知向量a与b(如图)，作aOA，bOB，则aBAb，向量BA叫做向量a与b的差，并记作ba，即OBOAbaBA，由定义可知：(1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量；(2)一个向量BA等于它的终点相对于点O的位置向量OA减去它的始点相对于点O的位置向量OB，或简记为“终点向量减始点向量”；(3)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量。注意：在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可。四、数乘向量1、数乘向量的定义：实数和向量a的乘积是一个向量，记作a。(1)长度：||||||aa，(2)方向：a(0a)的方向：当0时，与a同方向；当0时，与a反方向。特别地，当0或0a时，00a或00，a中的实数叫做向量a的系数。(3)几何意义：就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小。(4)运算律：设、R，则①aaa)(，②aa)()(；③baba)(。注意：①实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如a、a均无法运算；②a的结果为向量，所以当0时，得到的结果为0而不是0。2、向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算。3、两个非零向量a、b的夹角：已知非零向量a与b，记aOA、bOB，则AOB(0)叫做a与b的夹角。说明：①当0时，a与b同向；②当时，a与b反向；③当2时，a与b垂直，记ba；④注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，夹角范围为]0[，。4、平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是，则数量cos||||ba叫a与b的数量积，记作ba，即有cos||||baba(0)。规定0与任何向量的数量积为0。说明：两个向量的数量积与向量同实数积的区别：(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。(2)两个向量的数量积称为内积，写成ba，书写时注意符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替。(3)2222)(bbaaba，22)()(bababa。(4)在实数中，若0a，且0ba，则0b，但是在向量中，若0a，且0ba，不能推出0b，∵其中0cos。(5)已知实数a、b、c(0b)，则bcabca，但是向量cbba不能推出ca，如右图：||||cos||||OAbbaba，||||cos||||OAbcbcb，cbba但ca。(6)在实数中有)()(cbacba，但是在向量中)()(cbacba，显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。5、向量b在a方向上的投影：设为a、b的夹角，则cos||b为b在a方向上的投影。投影也是一个数量，不是向量。当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当0时投影为||b；当180时投影为||b。6、向量的数量积的几何意义：数量积ba等于a的长度与b在a方向上投影cos||b的乘积。7、向量的运算：运算向量形式坐标形式：)(11yxa，、)(22yxb，加法求两个向量和的运算平行四边形法则：起点相同，对角线为向量和，记：ACADAB。三角形加法法则：首尾相连，记：ACBCAB。)(2121yyxxba，减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形减法法则：起点相同的两个向量的差，箭头从后指向前，记：BAOBOA)(2121yyxxba，终点相同的两个向量的差，箭头从前指向后，记：BCCABA运算律：①交换律：abba；②结合律：)()(cbacba；③aaa00+0。数乘实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，a是一个向量，||||||aa。方向：0时，a与a同向；0时，a与a反向；0时，0a。)(11yxa，运算律：①abba；②aa)()(，)()()(bababa；③aaa)(，baba)(，cbcacba)(。数量积bababa，cos||||2121yyxxba五、向量的坐标运算1、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。2、平面向量的坐标表示：(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使jyixa，把有序数对)(yx，叫做向量a的坐标，记作)(yxa，，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标。在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示。(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设)(11yxA，、)(22yxB，，则)(1212yyxxAB，，212212)()(||yyxxAB。(3)若O是坐标原点，设jyixOA，则向量OA的坐标)(yx，就是终点A的坐标，即若)(yxOA，，则A点坐标为)(yx，，反之亦成立。注意向量坐标与点的坐标的区别：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息。3、线段的定比分点及：设1P、2P是直线l上的两点，P是l上不同于1P、2P的任一点，则一定存在实数，使21PPPP，叫做点P分21PP所成的比。有三种情况：0(内分)(外分)0(1)(外分)0(01)(1)定比分点坐标公式：若点)(111yxP，，)(222yxP，，为实数，且21PPPP，则点P坐标为)11(2121yyxx，，我们称为点P分21PP所成的比。(2)点P的位置与的范围的关系：①当0时，PP1与2PP同向共线，这时称点P为21PP的内分点；②当0(1)时，PP1与2PP反向共线，这时称点P为21PP的外分点。(3)若P分有向线段21PP所成的比为，点M为平面内的任一点，则121MPMPMP；特别地P为21PP的中点221MPMPMP。4、向量的重要定理、公式、结论：(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用。(2)三角形不等式：||||||||||||bababa。证明：①非零向量a、b不共线时，ba的方向与a、b的方向都不同且||||||||||||bababa；②非零向量a、b共线时，设||||ba，a与b同向时，ba的方向与a、b相同且||||||baba，ba的方向与a相同且||||||baba，a与b异向时，ba的方向与a相同且||||||baba，ba的方向与a相同且||||||baba；③a、b至少有一个0时||||||||||||bababa。(3)重要结论：若||||baba，则ba。(4)向量的模：22||yxaaa；非零向量a与b的夹角：222221212121||||,cosyxyxyyxxbababa。(5)非零向量)(11yxa，、)(22yxb，共线或垂直的坐标表示：①向量共线：ba//ba1221yxyx；②向量垂直：ba0ba02121yyxx。特别地)||||()||||(ACACABABACACABAB。(6)两个向量的数量积的性质：设a、b、c为两个非零向量，e是与a同向的单位向量。①cos||aaeea；②当a与b同向时，||||baba；当a与b反向时，||||baba。特别的22||aaaa或aaa||；③2222||||))((babababa