复合函数知识总结及例题

1第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：(1)、已知fx()的定义域，求fgx()的定义域思路：设函数fx()的定义域为D，即xD，所以f的作用范围为D，又f对gx()作用，作用范围不变，所以Dxg)(，解得xE，E为fgx()的定义域。例1.设函数fu()的定义域为（0，1），则函数fx(ln)的定义域为_____________。解析：函数fu()的定义域为（0，1）即u()01，，所以f的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以01lnx解得xe()1，，故函数fx(ln)的定义域为（1，e）例2.若函数fxx()11，则函数ffx()的定义域为______________。解析：先求f的作用范围，由fxx()11，知x1即f的作用范围为xRx|1，又f对f(x)作用所以fxRfx()()且1，即ffx()中x应满足xfx11()即xx1111，解得xx12且故函数ffx()的定义域为xRxx|12且（2）、已知fgx()的定义域，求fx()的定义域思路：设fgx()的定义域为D，即xD，由此得gxE()，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以xEE，为fx()的定义域。例3.已知fx()32的定义域为x12，，则函数fx()的定义域为_________。解析：fx()32的定义域为12，，即x12，，由此得3215x，所以f的作用范围为15，，又f对x作用，作用范围不变，所以x15，2即函数fx()的定义域为15，例4.已知fxxx()lg22248，则函数fx()的定义域为______________。解析：先求f的作用范围，由fxxx()lg22248，知xx2280解得x244，f的作用范围为()4，，又f对x作用，作用范围不变，所以x()4，，即fx()的定义域为()4，（3）、已知fgx()的定义域，求fhx()的定义域思路：设fgx()的定义域为D，即xD，由此得gxE()，f的作用范围为E，又f对hx()作用，作用范围不变，所以hxE()，解得xF，F为fhx()的定义域。例5.若函数fx()2的定义域为11，，则fx(log)2的定义域为____________。解析：fx()2的定义域为11，，即x11，，由此得2122x，f的作用范围为122，又f对log2x作用，所以log2122x，，解得x24，即fx(log)2的定义域为24，评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。（二）同步练习：1、已知函数)x(f的定义域为]1,0[，求函数)x(f2的定义域。答案：]1,1[2、已知函数)x23(f的定义域为]3,3[，求)x(f的定义域。3答案：]9,3[3、已知函数)2x(fy的定义域为)0,1(，求|)1x2(|f的定义域。答案：)23,1()0,21(4、设xxxf22lg，则xfxf22的定义域为（）A.4,00,4B.4,11,4C.2,11,2D.4,22,4解：选C.由202xx得，()fx的定义域为|22xx。故22,2222.xx，解得4,11,4x。故xfxf22的定义域为4,11,45、已知函数)(xf的定义域为)23,21(x，求)0)(()()(aaxfaxfxg的定义域。［解析］由已知，有.232,2321,2321,2321axaaxaaxax（1）当1a时，定义域为}2321|{xx；（2）当aa2323，即10a时，有221aa，定义域为}232|{axax；（3）当aa2323，即1a时，有221aa，定义域为}2321|{axax.故当1a时，定义域为}2321|{axax；当10a时，定义域为}.232|{axax［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。三、复合函数单调性问题4（1）引理证明已知函数))((xgfy.若)(xgu在区间ba,(）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数)(ufy在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((xgfy在区间ba,(）上是增函数.证明：在区间ba,(）内任取两个数21,xx，使bxxa21因为)(xgu在区间ba,(）上是减函数，所以)()(21xgxg,记)(11xgu,)(22xgu即),(,21,21dcuuuu且因为函数)(ufy在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21ufuf,即))(())((21xgfxgf，故函数))((xgfy在区间ba,(）上是增函数.（2）．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：)(ufy增↗减↘)(xgu增↗减↘增↗减↘))((xgfy增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）、复合函数))((xgfy的单调性判断步骤：ⅰ确定函数的定义域；ⅱ将复合函数分解成两个简单函数：)(ufy与)(xgu。ⅲ分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((xgfy为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((xgfy为减函数。（4）例题演练例1、求函数)32(log221xxy的单调区间，并用单调定义给予证明奎屯王新敞新疆解：定义域130322xxxx或5单调减区间是),3(设2121),3(,xxxx且则)32(log121211xxy)32(log222212xxy)32(121xx)32(222xx=)2)((1212xxxx∵312xx∴012xx0212xx∴)32(121xx)32(222xx又底数1210∴012yy即12yy∴y在),3(上是减函数奎屯王新敞新疆同理可证：y在)1,(上是增函数奎屯王新敞新疆［例］2、讨论函数)123(log)(2xxxfa的单调性.［解］由01232xx得函数的定义域为}.31,1|{xxx或则当1a时，若1x，∵1232xxu为增函数，∴)123(log)(2xxxfa为增函数.若31x，∵1232xxu为减函数.∴)123(log)(2xxxfa为减函数。当10a时，若1x，则)123(log)(2xxxfa为减函数，若31x，则)123(log)(2xxxfa为增函数.例3、.已知y=alog(2-xa)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.解：∵a＞0且a≠1当a＞1时，函数t=2-xa0是减函数由y=alog(2-xa)在［0，1］上x的减函数，知y=alogt是增函数，∴a＞1由x［0，1］时，2-xa2-a＞0,得a＜2,∴1＜a＜2当0a1时，函数t=2-xa0是增函数奎屯王新敞新疆由y=alog(2-xa)在［0，1］上x的减函数，知y=alogt是减函数，∴0a1奎屯王新敞新疆由x［0，1］时，2-xa2-1＞0,∴0a1综上述，0a1或1＜a＜2奎屯王新敞新疆6例4、已知函数2)3()2(2axaaxxf（a为负整数）的图象经过点Rmm),0,2(，设)()()()],([)(xfxpgxFxffxg.问是否存在实数)0(pp使得)(xF在区间)]2(,(f上是减函数，且在区间)0),2((f上是减函数？并证明你的结论。［解析］由已知0)2(mf，得02)3(2amaam，其中.0,aRm∴0即09232aa，解得.37213721a∵a为负整数，∴.1a∴1)2(34)2(2xxxxf，即.1)(2xxf242221)1()]([)(xxxxffxg，∴.1)12()()()(24xppxxfxpgxF假设存在实数)0(pp，使得)(xF满足条件，设21xx，∴].12)()[()()(2221222121pxxpxxxFxF∵3)2(f，当)3,(,21xx时，)(xF为减函数，∴0)()(21xFxF，∴.012)(,022212221pxxpxx∵3,321xx,∴182221xx,∴11612)(2221ppxxp,∴.0116p①当)0,3(,21xx时,)(xF增函数,∴.0)()(21xFxF∵02221xx,∴11612)(2221ppxxp,∴0116p.②由①、②可知161p，故存在.161p（5）同步练习：1．函数y＝21log（x2－3x＋2）的单调递减区间是（）A．（－∞，1）B．（2，＋∞）C．（－∞，23）D．（23，＋∞）解析：先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝21log（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减．答案：B2找出下列函数的单调区间.7（1）)1(232aayxx；（2）.2322xxy答案：(1)在]23,(上是增函数，在),23[上是减函数。（2）单调增区间是]1,1[，减区间是]3,1[。3、讨论)0,0(),1(logaaayxa且的单调性。答案：,1a时),0(为增函数，01a时，)0,(为增函数。4．求函数y＝31log（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R＋，所以函数的值域是R＋．因为函数y＝31log（x2－5x＋4）是由y＝31log（x）与（x）＝x2－5x＋4复合而成，函数y＝31log（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）＝x2－5x＋4在（－∞，25）上为减函数，在［25，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y＝31log（x2－5x＋4）的增区间是定义域内使y＝31log（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；y＝31log（x2－5x＋4）的减区间是定义域内使y＝31log（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．变式练习一、选择题1．函数f（x）＝)1(log21－x的定义域是（）A．（1，＋∞）B．（2，