2018年高中数学-黄金100题系列-第21题-函数零点的性质问题-理

最新K12资料第21题函数零点的性质问题I．题源探究·黄金母题【例1】求函数()ln26fxxx的零点的个数．【答案】1．【解析】fx的定义域为0,．,,2ln24603ln3660ff由零点存在性定理知fx有零点．又120,fxfxx在0,上是单调递增函数，fx只有一个零点．精彩解读【试题来源】人教版A版必修1P88例1．【母题评析】本题考查了零点存在性定理、函数零点个数的判断．【思路方法】判断函数是否存在零点可用零点存在性定理或利用数形结合法．而要判断函数有几个零点，还需要借助函数的单调性．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考山东卷】已知当0,1x时，函数21ymx的图象与yxm的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A．0,123,B．0,13,C．0,223,D．0,23,【答案】B【解析】当01m时，11m，2(1)ymx单调递减，且22(1)[(1),1]ymxm，yxm单调递增，且[,1]yxmmm，此时有且仅有一个交点；当1m时，101m，2(1)ymx在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13mmm，故选B．【例3】【2016高考天津卷】已知函数f（x）=2(4,0,log(1)13,03)axaxaxxx（a0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|()|2fxx恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．20,3B．23,34【命题意图】本题主要考查分段函数的零点问题．本题能较好的考查考生分析问题、解决问题的能力，以及数形结合、转化与化归能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大．【难点中心】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．最新K12资料C．123,334D．123,334【答案】C．【解析】由()fx在R上递减可知340,1331,01,34aaaa，由方程|()|2fxx恰好有两个不相等的实数解，可知132,12aa，1233a，又∵34a时，抛物线2(43)3yxaxa与直线2yx相切，也符合题意，∴实数a的去范围是123,334，故选C．【例4】【2016高考山东卷】已知函数2,,24,,xxmfxxmxmxm其中0m，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________．【答案】3,【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，要fxb有三个不同的根，需要红色部分图象在深蓝色图象的下方，即22224,30mmmmmm，解得3m．【命题意图】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念，考查学生分析问题与解决问题的能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大，往往是高中数学主要知识的交汇题．【难点中心】解答这类问题的关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式．本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等．III．理论基础·解题原理函数零点、方程的根、函数图象交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：最新K12资料3（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点；（2）方程的根：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫；（3）函数图象的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间．三者转化：函数fx的零点方程0fx的根方程变形方程gxhx的根函数gx与hx的交点．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般综合性较强，难度较大．【技能方法】1．已知函数有零点求参数取值范围常用的方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．2．此类问题的处理步骤：（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图象交点问题，并作出函数图象；（2）确定变量范围：通过图象与交点位置确定参数和零点的取值范围；（3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值．【易错指导】对函数零点存在的判断需要注意以下两点：（1）函数fx在,ab上连续；（2）满足0fafb．上述方法只能求变号零点，对于非变号零点不能用上述方法求解．另外需要注意的是：（1）若函数fx的图象在0xx与x轴相切，则零点0x通常称为不变号零点；（2）函数的零点不是点，它是函yfx数与x轴的交点的横坐标，是方程0fx的根．V．举一反三·触类旁通考向1函数零点所在区间的判断【例1】【2018豫西南部分示范高中高三第一学期联考】函数22lnfxxx的零点所在的区间为（）A．0,1B．1,2C．2,3D．3,4【答案】B【解析】由题干知道原函数是增函数，故可以根据零点存在定理得到：最新K12资料110,2ln2ln2ln02ffe，故两点存在于1,2上，故选B．【例2】【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研】已知函数(0),,lnxfxxxxgxxehxxx的零点分别为123,,xxx，则A．123xxxB．213xxxC．231xxxD．312xxx【答案】C【解析】根据函数yx分别与,,lnxyxyeyx图像交点，可知选C．【跟踪练习】1．【2018河南省天一大联考】函数的零点位于区间（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以由零点存在定理得零点位于区间，选C．2．【2018湖北部分重点中学上学期第一次联考】函数e43xfxx的零点所在的区间为（）A．1,04B．10,4C．11,42D．13,24【答案】C考向2由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围【例3】【2018四川绵阳高三第一次诊断性考试】已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（）最新K12资料5A．B．C．D．【答案】A【名师点睛】解题的关键是得到后，得到，然后将问题转化成方程在上有解的问题处理．在解题的过程中分离参数的方法，转化为求函数在闭区间的最值问题处理，求最值时可用导数或基本不等式处理，具体求解中要注意合理的变形．【例4】【2018南宁高三毕业班摸底联考】设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得函数f(x)的对称轴为x=2，周期为T=4，原方程变形为，，所以只需画出，两个函数在区间(-2，6)的图像，根据图像求a的范围，图像如下，一定过（-1，0）点，当时，显然只有一个交点，所以，只需要对数从点B，点C下面穿过就有4个零点，所以解得，选D．【名师点睛】对于求不同类的两个函数构成的方程，我们常把方程变形为f(x)=g(x)，然后根据y=f(x)与y=g(x)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数．如本题把方程变形为，再画出两个函数的图像，根据两个图像有4个交点，求出参数a的范围．最新K12资料【例5】【2018河南省天一大联考】已知函数若关于的方程有3个实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作图如下：因此要使方程有3个，实数的取值范围是，选D．【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．【例6】【2018山西45校高三第一次联考】函数在区间和区间上分别存在一个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．或【答案】B【例7】【2017江西上饶一模】已知fx是定义域为0,的单调函数，若对任意的0,x，都有13log4ffxx，且方程323694fxxxxa在区间0,3上有两解，则实数a的取值范围是（）A．05aB．5aC．05aD．5a【答案】A【解析】由题意知必存在唯一的正实数a，满足13logfxxa，4fa①，∴13logfaaa最新K12资料7②，由①②得：13log4aa，∴413aa，解得3a．故133logfxx，由方程323694fxxxxa在区间0,3上有两解，即有3213log694xxxxa在区间0,3上有两解，由32694gxxxxa，可得23129gxxx，当13x时，0gx，gx递减；当01x时，0gx，gx递增．gx在1x处取得最大值a，04ga，34ga，分别作出13logyx，和32694yxxx的图象，可得两图象只有一个交点1,0，将32694yxxx的图象向上平移，至经过点3,1，有两个交点，由31g，即41a，解得5a，当05a时，两图象有两个交点，即方程两解．故选A．【例8】【2018河南郑州一中模拟】已知函数fx满足22fxfx，当0,1x时，2fxx，当1,0x时，221fxfx，若定义在1,3上的函数1gxfxtx有三个不同的零点，则实数t的取值范围是__________．【答案】0,627最新K12资料2,3031xx，所以33fxx，则224433fxxx．所以222+1{2(243xxxfxx，,1,0,0,1,1,2,2,3xxxx，画出函数yfx在区间1,3上的图像与函数1ytx的图像，由于直线1ytx是过定点1,0斜率是t的动直线，数形结合可知：当1ytx与222yx相切时，即方程2212242=0txxxtxt有唯一解，可求得627t，故结合图像可知：当0627t时，函数yfx在区间1,3上的图像与直线1ytx的图像有且只有三个不同的交点，即定义在1,3上的函数1gxfxtx有三个不同的零点，应填答案0,627．【名师点睛】解答本题的关键是充分运用题设条件先将函数yfx在区间1,3上的解析表达式求出来，再画出其图像数形结合，从而将问题转化为方程22122