高中数学函数零点问题及例题解析2018年高三专题复习-函数

1高中数学2017-2018高三专题复习-函数（3）函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(xfy，我们把方程0)(xf的实数根叫函数)(xfy的零点。（2）方程0)(xf有实根函数()yfx的图像与x轴有交点函数()yfx有零点。若函数()fx在区间,ab上的图像是连续的曲线，则0)()(bfaf是()fx在区间,ab内有零点的充分不必要条件。2、二分法：对于在区间[,]ab上连续不断且()()0fafb的函数()yfx,通过不断地把函数()yfx的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(xfy在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(bfaf，那么，函数)(xfy在区间（a,b）内有零点，即存在),(bac,使得0)(cf,这个c也是方程0)(xf的根”。根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例、函数xxxf2)1ln()(的零点所在的大致区间是（）（A）（0，1）；（B）（1，2）；（C）（2，e）；（D）（3，4）。分析：显然函数xxxf2)1ln()(在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(f,0)2(f，所以由根的存在性定理可知，函数xxxf2)1ln()(的零点所在的大致区间是（1，2），选B（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。2函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如：1．对于求一个陌生函数的零点个数，若能把已知函数分解成两个熟悉的函数，那么可利用构造函数法化归为求两个熟悉函数图象的交点个数求解,如：例.求xxxf2)(2零点的个数。分析：本题直接求解，无法下手，由函数xxxf2)(2的零点也是方程02)(2xxxf的根，即方程xx22的解，但这个方程不是熟悉的常规方程，由方程的解与两函数图象交点的关系，可构造函数21xy、xy22,在同一坐标系中作出它们的图象，可得出它们有三个交点，所以xxxf2)(2零点的个数有三个。2.对于一元高次函数，可利用导数法研究函数图象的特征，作出函数的图象，确定图象与X轴交点的情况求解。（导数专题再续讲）（三）求函数的具体零点或求方程的根。对于某些特殊类型的函数，可通过研究式子的特征，构造新函数,转化求解。如：例、求函数36)35()(55xxxxf的零点。分析：考察036)35()(55xxxxf的特点，直接求解难以入手，可转化为求)()35()35(55xxxx的解，根据式子特点构造函数xxxg5)(，显然)(xg为奇函数，且在R上单调递增，由)()35()35(55xxxx可化为)()()35(xgxgxg，故利用函数)(xg的性质可得xx35，则21x，所以函数)(xf的零点为21x3基础练习1、下列函数中，不能用二分法求零点的是（）答案B2、已知函数)(xf的图象是连续的，有如下表。函数)(xf在区间]6,1[上的零点至少有（）答案Cx123456)(xf123.5621.45－7.8211.5753.76－126.49A．2个B．3个C．4个D．5个3.设、分别是方程2log40240xxxx和的根，则＋＝。答案44.已知函数babaxxxf,()(2为常数），且方程012)(xxf有两实根3和4(1)求函数)(xf的解析式；(2)设1k，解关于x的不等式：xkxkxf2)1()(解：（1）即方程0122xbaxx有两根3和4，所以084160939baba得21ba所以xxxf2)(2（2）即xkxkxx2)1(22整理的0))(1)(2(kxxx21k时，不等式的解集}21|{xkxx或；2k时，不等式的解集}221|{xxx或；2k时，不等式的解集}21|{kxxx或