第2章基本不等式测试题(苏教版必修5)

基本不等式测试题A组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.若xy0,则xyyx的最小值是。1.2.提示：xyyx≥2xyyx=2.2.已知a，b都是正数，则a＋b2、a2＋b22的大小关系是。2.a＋b2≤a2＋b22。提示：平方作差，利用a2+b2≥2ab可得。3.若x＋y＝4，x＞0，y＞0，则lgx＋lgy的最大值是。3.lg4.提示：lgx＋lgy=lgxy≤lg(2xy)2=lg4.4.已知121(0,0),mnmn则mn的最小值是4.22。提示：1221222mnmnmn。5.已知：226xy，则2xy的最大值是＿＿＿5.9.提示：6=22xy≥2·22xy，∴22xy≤9。故2xy的最大值是9，此时x=y=2log3。6新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆6.8.提示新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆由已知y1=x20；y2=0新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆8x(x为仓库与车站距离)，费用之和y=y1+y2=0新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆8x+x20≥2xx208.0=8，当且仅当0新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆8x=x20即x=5时“=”成立。7.已知正数xy、满足3xyxy，则xy的范围是。7.[9,)。提示：由0,0xy，则3xyxy32xyxyxy，即2()230xyxy解得13xyxy(舍)或，当且仅当3xyxyxy且即3xy时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)。8.给出下列命题：①a,b都为正数时,不等式a+b≥2ab才成立。②y=x+1x的最小值为2。③y=sinx+2sinx(02x)的最小值为22.④当x0时，y=x2+16x≥2316x,当x2＝16x时，即x=16,y取最小值512。其中错误的命题是。8.①②③④。提示：①a+b≥2ab成立的充要条件是0,0ab；②当x0,y=x+1x≥2;当x0时,y=x+1x=-(-x-1x)≤-21()()xx=-2;③y=sinx+2sinx≥22，等号成立的条件是sinx＝2sinx，即sinx＝2，而当02x时，0sinx≤1，故等号不成立，y的最小值可通过单调性的定义判断y=t+2t(t=sinx)在(0,1上单调递减，从而ymin=1+21=3;④“2316x”不是定值，因此该命题也不对。y=x2+16x在x(0,)单调递增，无最小值。二．解答题(本大题共4小题，共54分)9.已知:在ABC中,∠A,∠B,∠C，的对边分别是a,b,c，则求满足下列条件的∠B的范围分别是什么。⑴若a=2,b=1。⑵若2bac。9.解：⑴∵cosB=22224124acbcacc=13()4cc133242cc故∠B取值范围分别是(0,]6。取等号时c=3.⑵∵cosB=2222acbac=2221222acacacacacac故∠B取值范围分别是(0,]3.取等号时a=c.10．已知直角△ABC中，周长为L，面积为S，求证：4S≤2(322)L.10．设直角△ABC的两直角边为x，y，则斜边为22xy，S=12xy，∴L=22xyxy≥22222xyxySS∴4S≤222(322)(21)LL11.已知正数yx,满足12yx,求yx11的最小值有如下解法：解：∵12yx且0,0yx.∴242212)2)(11(11xyxyyxyxyx∴24)11(minyx.判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法．11.解：错误.∵xyyx1211①等号当且仅当yx时成立，又∵xyyx22②等号当且仅当yx2时成立，而①②的等号同时成立是不可能的.正确解法：∵12yx且0,0yx.∴22322323)2)(11(11yxxyyxxyyxyxyx，当且仅当yxxy2，即yx2，又12yx，∴这时22212yx∴223)11(minyx．12．某食品厂定期购买面粉。已知该厂每天需用面粉6t，每t面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每t每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？12．设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为：3[66(1)6261]9(1)xxxx.设平均每天所支付的总费用为y元，则1900[9(1)900]61800910809yxxxxx≥10989，当且仅当x=10时取等号.答：该厂10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.备选题：1.一种产品的年产量情况是：第一年为a件，第二年比第一年增长p1%，第三年比第二年增长p2%，且p1＞0，p2＞0，p1＋p2＝2p，如果年平均增长x%，则x,p的大小关系是。1.x≤p。提示：a(1＋p1)(1＋p2)＝a(1＋x)2，∴1＋p1p2＋p1＋p2＝1＋2x＋x2。又p1＋p2＝2pp1p2≤(p1＋p22)2＝p2，∴2x＋x2≤2p＋p2。(x－p)(x＋p＋2)≤0，∴x≤p(∵x＋p＋2＞0)2.已知m＝a＋1a－2(a＞2)，n＝(12)x2－2(x＜0)，则m与n的大小关系为.2.m＞n。提示：m＝a－2＋1a－2＋2≥2＋2＝4(当且仅当a＝3时取等号)而x2－2＞－2(∵x＜0)，∴n＝(12)x2－2＜(12)－2＝4.∴m＞n。3.已知141ab，且a0，b0,求a+b最小值。3.解法一由a0,b0,141ab.得a+b=(a+b)×1=(a+b)×(14ab)=5+4baab≥5+24=9.当且仅当4baab，即b=2a,即a=3,b=6时，(a+b)min=9.解法二由141ab且a0，b0得(a-1)(b-4)=4,又∵01a1，04b1,∴a1,b4,a-10,b-40.∴(a-1)+(b-4)≥2(a-1)(b-4)=4。当且仅当a-1=b-4,即a=3,b=6时,(a+b)min=9.B组一．填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.已知x＞0，函数y＝2－3x－4x有值是.1.最大，2－43.提示：y＝2－(3x＋4x)≤2－22＝2－43.2．设1x，则函数461yxx的最小值是。2.9.提示：4446152(1)59111yxxxxxx。3.函数xxy4的值域是。3.44yyy或提示：)2(4424,0)(时取等号当时当xxxxxxa；44)2(4)4)((2)4()(0,0)(xxxxxxxxxb时取等号当而时当所以函数的值域是44yyy或。4.当0a且1a时，函数()log(1)1afxx的图像恒过点A，若点A在直线0mxyn上，则42mn的最小值为▲*()nN.4.22。提示：由题意知y=f(x)过点（2，1）。故2m+n=1.42mn22422222mnmn.5．在4×□＋9×□=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上和。5.6，4.提示：设两数为x、y，即4x＋9y=60，60)94()11(11yxyxyx=)9413(601xyyx≥125)1213(601，等于当且仅当xyyx94，且4x＋9y=60，即x=6且y=4时成立，故应分别有6、4。6.爷爷与奶奶给他们的孙女、孙子们分糖果吃，爷爷的分配方案如下：给每个孙女的糖果数等于他们孙子的人数，给每个孙子的糖果数等于他们孙女的人数，而且若如此分配，糖果恰好分完.可实际分配时，奶奶记反了，她给每个孙女的糖果数等于他们孙女的人数，而给每个孙子的糖果数等于他们孙子的人数，请问：分配结果如何？__________________________________________________________________________6.糖果恰好分完或糖果不够分.提示：设孙子人数为a，孙女人数为b，则由爷爷的分配方案可知，实际准备的糖果数为2ab，而按奶奶的实际分法，则需要糖果数为a2+b2，所以当a=b时，糖果恰好分完；当a≠b时，糖果不够分.二．解答题(本大题共4小题，共54分)7.已知a、b是正数，且ax＋by＝1(x，y∈R＋，求证：x＋y≥(a＋b)2.7.【证明】∵ax＋by＝1，∴x＋y＝(x＋y)(ax＋by)＝a＋b＋yax＋xby≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2∴x＋y≥(a＋b)28.某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（13)0mkxm满足）（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。已知2005年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？8.解（1）由题意可知当2m0,x1(),13kk2,x3,m1==\=-?\=-+时万件每件产品的销售价格为)(1685.1元xx，∴2008年的利润mmmxmxxxxy)123(8484)168(]1685.1[)0(29)]1(116[mmm．（2）8162)1(116,0mmm时，21,)(31116,21298maxymmmy时万元当且仅当（万元）答：该厂家2008年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.备选题：1.若实数a,b满足a+b=2,则33ab的最小值是。1.6.提示：∵33ab≥223236ab，此时a=b=1。2．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，