第1讲-任意角和弧度制及任意角的三角函数

第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数一、知识梳理1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类按旋转方向正角按逆时针方向旋转而成的角负角按顺时针方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr角度与弧度的换算1°＝π180rad，1rad＝180π°≈57°18′弧长公式l＝|α|·r扇形面积公式S＝12l·r＝12|α|·r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosαyx叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ正正正Ⅱ正负负Ⅲ负负正Ⅳ负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦常用结论1．象限角2．轴线角3．三角函数定义的推广设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx.二、教材衍化1．角－225°＝________弧度，这个角在第________象限．答案：－5π4二2．设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cosθ－sinθ＝________．答案：1153．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．答案：π3一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．()(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．()(3)不相等的角终边一定不相同．()(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．()(5)若α∈0，π2，则tanα＞sinα.()(6)若α为第一象限角，则sinα＋cosα＞1.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)√二、易错纠偏常见误区|(1)终边相同的角理解出错；(2)三角函数符号记忆不准；(3)求三角函数值不考虑终边所在象限．1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋9π4(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)解析：选C．由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z).2．若sinα＜0，且tanα＞0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选C．由sinα＜0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tanα＞0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．故选C．3．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cosα＜0，则tanα＝________．解析：如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tanα＝yx＝－xx＝－1.答案：－1考点一任意角与弧度制(基础型)复习指导|了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化．核心素养：数学抽象角度一象限角及终边相同的角1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C．－3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，所以4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限角，故③正确；－315°＝－360°＋45°，所以－315°是第一象限角，故④正确，故选C．2．若角α是第二象限角，则α2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角解析：选C．因为α是第二象限角，所以π2＋2kπαπ＋2kπ，k∈Z，所以π4＋kπα2π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．所以α2是第一或第三象限角．3．集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：选C．当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C．4．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°－45°(k∈Z)，解得－765360≤k－45360(k∈Z)，从而k＝－2和k＝－1，代入得β＝－675°和β＝－315°.答案：－675°和－315°5．终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．解析：如图，在坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为－5π3，－2π3，π3，4π3.答案：－5π3，－2π3，π3，4π3(1)表示区间角的三个步骤①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间；③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．(2)象限角的两种判断方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．[提醒]注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．角度二扇形的弧长及面积公式已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解】(1)α＝60°＝π3，l＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R，0R10，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10cm，α＝2rad.弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝12lr＝12|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．[提醒]运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度．1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是()A．4B．2C．8D．1解析：选A．设扇形的弧长为l，则12l·2＝8，即l＝8，所以扇形的圆心角的弧度数为82＝4.2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α2r32πr2＝527，所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为lC＝5π6·2r32πr＝518.答案：518考点二三角函数的定义(基础型)复习指导|借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．核心素养：数学抽象、数学运算角度一利用三角函数定义求值(1)函数y＝loga(x－3)＋2(a＞0且a≠1)的图象过定点P，且角α的终边过点P，则sinα＋cosα的值为()A．75B．65C．55D．355(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－513，则tanα＝________．【解析】(1)因为函数y＝loga(x－3)＋2的图象过定点P(4，2)，且角α的终边过点P，所以x＝4，y＝2，r＝25，所以sinα＝55，cosα＝255，所以sinα＋cosα＝55＋255＝355.故选D．(2)因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－513，所以cosα＝－xx2＋36＝－513，即x＝52.所以P－52，－6，所以tanα＝125.【答案】(1)D(2)125三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法(1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．角度二判断三角函数值的符号若sinαcosα0，cosαtanα0，则α的终边落在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】由sinαcosα0，得α的终边落在第一或第三象限，由cosαtanα＝cosα·sinαcosα＝sinα0，得α的终边落在第三或第四象限，综上α的终边落在第三象限．故选C．【答案】C三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．1．(2020·江西九江一模)若sinx0，且sin(cosx)0，则角x是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选D．因为－1≤cosx≤1，且sin(cosx)0，所以0cosx≤1，又sinx0，所以角x为第四象限角，故选D．2．点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A．－12，32B．－32，－12C．－12，－32D．－32，12解析：选A．由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos2π3＝－12，y＝sin2π3＝32.所以Q点的坐标为－12，32.3．若角α的终边落在直线y＝－x上，则sinα|cosα|＋|sinα|cosα＝________．解析：因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，sinα|cosα|＋|sinα|cosα＝sinα－cosα＋sinαcosα＝0；当角α的终边位于第四象限时，sinα|cosα|＋|sinα|cosα＝sinαcosα＋－sinαcosα＝0.所以sinα|cosα|＋|sinα|cosα＝0.答案：0[基础题组练]1．(多选)下列与角2π3的终边相同的角是()A．14π3B．2kπ－2π3(k∈Z)C．2kπ＋2π3(k∈Z)D．(2k＋1)π＋2π3(k∈Z)解析：选AC．与角2π3的终边相同的角为2kπ＋2π3(k∈Z)，k＝2时，4π＋2π3＝143π.2．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B．由题