直线、平面平行的判定与性质

结束放映第1页获取详细资料请浏览：返回概要探究一有关线面、面面平行的命题真假判断探究二线面平行的判定与性质探究三面面平行的判定与性质训练1例1训练2例2训练3例3知识与方法回顾技能与规律探究辨析感悟知识梳理结束放映第2页获取详细资料请浏览：返回概要判定定义定理性质图形条件a∩α＝∅_______________a∥α___________________结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b1．直线与平面平行的判定与性质a⊂α，b⊄α，a∥ba∥α，a⊂β，α∩β＝b结束放映第3页获取详细资料请浏览：返回概要判定定义定理性质图形条件α∩β＝∅________________________________________________α∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥ba∥α2.面面平行的判定与性质a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b结束放映第4页获取详细资料请浏览：返回概要(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．()(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．()(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.()(4)若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条．()1．对直线与平面平行的判定与性质的理解结束放映第5页获取详细资料请浏览：返回概要(5)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．()(6)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．()(7)(教材练习改编)设l为直线，α，β是两个不同的平面，若l∥α，l∥β，则α∥β.()2．对平面与平面平行的判定与性质的理解结束放映第6页获取详细资料请浏览：返回概要三个防范一是推证线面平行时，一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内，如(1)(3)．二是推证面面平行时，一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，如(5)．三是利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时，必须说明经过已知直线的平面与已知平面相交,则该直线与交线平行,如(2)、(4).结束放映第7页获取详细资料请浏览：返回概要有关线面、面面平行的命题真假判断【例1】(1)(2013·广东卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()．A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解（1）A中，考点mnm与n可垂直、可异面、可平行；B中αβmnm与n可平行、可异面；C中αmβn若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；故D正确．D结束放映第8页获取详细资料请浏览：返回概要【例1】(2)设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是()．A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β解（2）A错误，n有可能在平面α内；D正确，易知m∥β或m⊂β，若m⊂β，又n∥m，n⊄β，∴n∥β，若m∥β，过m作平面γ交平面β于直线l，则m∥l，又n∥m，∴n∥l，又n⊄β，l⊂β，∴n∥β.答案(2)DB错误，平面α有可能与平面β相交；C错误，n也有可能在平面β内；D结束放映第9页获取详细资料请浏览：返回概要考点规律方法线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现，处理方法是数形结合，画图或结合正方体等有关模型来解题．有关线面、面面平行的命题真假判断结束放映第10页获取详细资料请浏览：返回概要【训练1】(1)(2014·长沙模拟)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()．A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α解析经验证，当b与α相交或b⊂α或b∥α时，均满足直线a⊥b，且直线a∥平面α的情况，故选D.αβaαβaαβabbb（看右图：a⊥β，a∥α，b⊂β，α⊥β）有关线面、面面平行的命题真假判断考点(1)可以构造一草图来表示位置关系，D结束放映第11页获取详细资料请浏览：返回概要【训练1】(2)给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()．A．3A．2C．1D．0解析有关线面、面面平行的命题真假判断考点①中，当α与β相交时，也能存在符合题意的l，m；②中，l与m也可能异面；③中，l∥γ，l⊂β，β∩γ＝m⇒l∥m，同理l∥n，则m∥n，正确．答案(2)CC结束放映第12页获取详细资料请浏览：返回概要线面平行的判定与性质【例2】如图，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC＝90°,AB＝AC＝2,AA′＝1,点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′-MNC的体积．考点证明（1）法一连接AB′，AC′，如图，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．注意说明已知的直线不在平面内．结束放映第13页获取详细资料请浏览：返回概要线面平行的判定与性质考点证明（1）法二如图，而M，N分别为AB′与B′C′的中点，取A′B′的中点P，连接MP，NP，AB′所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′.P【例2】如图，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC＝90°,AB＝AC＝2,AA′＝1,点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′-MNC的体积．结束放映第14页获取详细资料请浏览：返回概要线面平行的判定与性质考点解（2）法一连接BN，如图，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.又A′N＝12B′C′＝1，故VA′-MNC＝VN-A′MC＝12VN-A′BC＝12VA′-NBC＝16.法二VA′-MNC＝VA′-NBC－VM-NBC＝12VA′-NBC＝16.求几何体的体积，要熟记特殊几何体的体积公式，对于不规则的几何体,要能“割”善“补”.还要善于用等积转换法求解。特别是四面体的体积问题，适当选择或变换底和高，有时会达到事半功倍的效果。巧妙的等积变换结束放映第15页获取详细资料请浏览：返回概要考点规律方法判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；线面平行的判定与性质(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，∥α⇒a∥β)．结束放映第16页获取详细资料请浏览：返回概要（1）【训练2】如图，在四面体A-BCD中，F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，G为DE的中点．证明：直线HG∥平面CEF.证明（1）法一如图1，连接BH，BH与CF交于K，连接EK.∵F，H分别是AB，AC的中点，∴K是△ABC的重心，∴BKBH＝23.又据题设条件知，BEBG＝23，∴BKBH＝BEBG，∴EK∥GH.∵EK⊂平面CEF，GH⊄平面CEF，∴直线HG∥平面CEF.结束放映第17页获取详细资料请浏览：返回概要【训练2】如图，在四面体ABCD中，F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，G为DE的中点．证明：直线HG∥平面CEF.证明（1）法二如图2，取CD的中点N，连接GN、HN.∵G为DE的中点，∴GN∥CE.∵CE⊂平面CEF，GN⊄平面CEF，∴GN∥平面CEF.连接FH，EN∵F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，∴FH∥12BC，EN∥12BC，∴FH∥EN，∴四边形FHNE为平行四边形，∴HN∥EF.∵EF⊂平面CEF，HN⊄平面CEF，∴HN∥平面CEF.HN∩GN＝N，∴平面GHN∥平面CEF.∵GH⊂平面GHN，∴直线HG∥平面CEF.图（2）N结束放映第18页获取详细资料请浏览：返回概要面面平行的判定与性质【例3】(2013·陕西卷)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝2.(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1;(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积．证明（1）考点(1)判定四边形BB1D1D是平行四边形审题路线⇒BD∥B1D1⇒BD∥平面CD1B1⇒同理推出A1B∥平面CD1B1⇒面A1BD∥面CD1B1.由题设知，BB1∥DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1∥B1C1∥BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.结束放映第19页获取详细资料请浏览：返回概要(2)断定A1O为三棱柱ABD-A1B1D1的高审题路线⇒用勾股定理求A1O⇒求S△ABD⇒求VABD-A1B1D1.(2)解∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高．又∵AO＝12AC＝1，AA1＝2，∴A1O＝AA21－OA2＝1.又∵S△ABD＝12×2×2＝1，∴VABD-A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.考点规律方法(1)证明两个平面平行的方法有：①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；②用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行”)，通过线面平行来完成证明；③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；④借助“传递性”来完成．(2)面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用.结束放映第20页获取详细资料请浏览：返回概要训练3在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN∥平面A1BD.证明法一如图，连接B1D1，B1C.∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN⊄平面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.面面平行的判定与性质考点结束放映第21页获取详细资料请浏览：返回概要训练3在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN∥平面A1BD.证明法二如图，连接AC1，AC，面面平行的判定与性质考点且AC∩BD＝O，∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，∴AC⊥BD，CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD，又AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面AC1C，∴AC1⊥BD.同理可证AC1⊥A1B，∴AC1⊥平面A1BD.同理可证AC1⊥平面PMN，∴平面PMN∥平面A1BD.o结束放映第22页获取详细资料请浏览：返回概要1．平行关系的转化方向如图所示：----课堂小结----2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条