3龚漫奇6.3定积分在物理上的应用

成绩统计第二次月考)06.12.2014(班级上次平均本次平均最高0~2930~940~950~960~970~980~990~0思源382.256.287刘炳宇3人2254330思源473.348.179戴丛洲24563100通信168.152.586马金莉17567220通信280.054.698张博文25476501留好单独辅导时要用考的不好的同学的卷子可微表示的无重段求由参数方程例,),(),(ttyytxx三、平面曲线的弧长(P284).sL的长度曲线解用微元法.:1的微量分成一小块一小块易算把步A可加区间使每个小块对应一个小造步AxxA,],,[:2210,)(],[:3且相对误差使算步dxxfdxxxAdA],[dtttsds的弧长”的点到参数为的点“参数为)()(dttQdtttPtbxaxbadxxfdAbaAA)(],[:4步把L分成一小段儿一小段儿的可微”的距离到点“点Ldttydttxtytx))(),(())(),((22)]()([)]()([tydttytxdttxdxxyxydxxydy)()()(由微分的哲学公式22])([])([dttydttxdttytx22)()(dttytx22)()(dss?tt：背求弧长的公式)()284(P可微表示的无重段由参数方程,),(),(ttyytxxsL的长度曲线dttytx22)()(表示的无重段可微由,),(bxaxyysL的长度曲线,xxbadxxys2)(1表示的无重段可微由,),(rrsL的长度曲线,sin)(,cos)(ryrxdrrs22)()(222]sincos[)()(rryx2]cossin[rr22)(rr解2)(1y所求弧长为xaxsdchaxaeeayaxaxch)(2bxbx与,chaxayaxyshxaxbdch20abaaxabsh2sh202sh1axaxch例xysbad12bb悬链线方程计算介于之间一段弧长度.xyObba解nxnysin,sinnxsxnxndsin10tntdsin1tttttnd2cos2sin22cos2sin022tttnd2cos2sin0.4nntx例xysbad12计算曲线).0(nx的弧长dsin0nynxtnxdd000nn1xtxatftdtf口口口)())((解为把方程参数化,taytax33sincos.20时无重段，且由描点法知星形线如图t对称性14sstyxd)()(422tdtta20cossin34.6a第一象限部分的弧长tdtytxs)()(2202例求星形线的全长s.323232ayx)0(aaaOxyaa所以把原方程变形为1)(sin)(cos22tt123/123/1axaxtaytaxsin,cos3/13/12/02222)cossin3()sincos3(4dtttatta证xysd12021xxadcos12022xxadcos12022设正弦线的弧长等于1s设椭圆的周长为2styxsd)()(20222证明正弦线例的弧长等于)20(sinxxay椭圆的周长.)20(sin1cos2ttaytx椭圆的对称性ttatd))(cos1()(sin20222ttadcos12022xxadcos120221s例求极坐标系下曲线33sinar的长.)0(a)30(解d)()(22rrsr3cos3sin2ad3cos3sin3sin3024262aad3sin302a.23ad)()(22rrs23sin3a3cos31例求阿基米德螺线ar)0(a上相应于从0到2的弧长.解,ard)()(22rrsd20222aad1202a)].412ln(412[222ad)()(22rrs.30,27,21288P作业：右端左端下线上线dxA][上端下端左线右线dy][四、小结1.直角面积d)(rrdOr)(rdrA2)(212.极坐标面积3.旋转体的体积bxaxdxxr2)(V转得之如图贴轴曲边梯形)()//(:变量轴转轴转轴切片切片法取平面上薄柱壳法:绕轴转成薄柱壳红色转轴的小细条)(//)(xr)(xh)(xR)(变量轴转轴bxaxdxxhxRV)()(2axbOx)(xA：背切片法公式)(bxaxdxxAV)(轴的截面点过xx平行截面面积为已知的立体的体积VxA的立体之面积为)(：背求弧长的公式)()284(P可微表示的无重段由参数方程,),(),(ttyytxxsL的长度曲线dttytx22)()(表示的无重段可微由,),(bxaxyybadxxys2)(1表示的无重段可微由,),(rrdrrs22)()(思考题1的引抛物线上的点从抛物线221xyPxy点的所围成的面积与证明该切线与Pxy2,切线位置无关.12xy2xy),(111yxQ),(222yxQ),(00yxP解Oxy),1,(:200xx对蓝线上任一点思路),1,(),200xx使该点的切线过际是两点.,,0即得证无关时当它与从而算出所述面积x实找红线上的点)(,(211xx,01的函数是得到xx),1,(200xx对蓝线上任一点:),(2112处的切线为上点xxxy)(21121xxxxy),1,(200xx它过)(211012120xxxxx012201021xxxx1)(201xx101xx),(2111xxxyy定积分在几何学上的应用,101xx101xx于是切线21,PQPQ的方程分别为200)1()1(2xxxy200)1()1(2xxxy212,PQPQxy及由所围图形的面积为A2x0xxxxxxd])1()1(2[20020x1xxxxxxd])1()1(2[200210x10x.32可见0xA与无关,),(00yxPA与点位置无关.12xy2xy),(111yxQ),(222yxQ),(00yxPOxy周所围图形绕极轴旋转一求心形线补充作业cos1:r1.所生成的旋转体的体积所围图形与直线求曲线补充作业)0(:2mmxyxy2绕该直线旋转一周.所生成的旋转体的体积.:法两题都可用创造性微元提示15变力沿直线所作的功水压力引力小结思考题作业6.3定积分在物理上的应用(P289)16一、变力沿直线所作的功如果一常力F作用于一物体距离s,积分得到总功的表达式.sFW如果计算功时力或距离是变化的,则需要在某一变量的小区间上求出功微元,然后求定那么就说力对这一物体作了功.:1的微量分成一小块一小块易算把步A可加区间使每个小块对应一个小造步AxxA,],,[:2210,)(],[:3且相对误差使算步dxxfdxxxAdA],[dxxxWWd做的功”在“],[dxxxFsFdxxF)(bxaxdxxF)(bxaxbadxxfdAbaAA)(],[:4步将W分成一段一段的，即各段F做的功.WdW?ax?bx例如图物体沿x轴从ax移动到),(babx且其在x处受力F(x),(F0时,F指向x正向;F0时,F指向x负向),求变力F(x)所做的功W.axxxdbx用微元法解)(xF的r=a处沿直线移动到r=b(0ab)处时,两点电荷之间的作用力(称为+q的电场力)所作的功.例roqabrrd问当一个带有电量为+1的点电荷(称单位正电荷)从r轴解两点电荷之间的作用力FFF||之大小同性相斥，异性相吸1r1库仑定律如图在r轴的原点处固定一个带电量为+q点电荷,先讲背景知识221rqqk之方向：F?,?21qq对于本题q1处单位正电荷在r)()(rF受力如图2rqk？向轴且受力方向为r正移到故单位正电荷从r作的微功电场力Fdrr,],[drrrWWdsFdrrqk2W而所求之功barkq1.11bakqbarrkqd2的r=a处沿直线移动到r=b(0ab)处时,两点电荷之间的作用力(称为+q的电场力)所作的功.例roqabrrd问当一个带有电量为+1的点电荷(称单位正电荷)从r轴解1r1如图在r轴的原点处固定一个带电量为+q点电荷,W而所求之功barkq1.11bakqbarrkqd219又在物理中定义处的电位为rrqkd2a本题电场在ar.aqk例存满了水,(如图)求把池中的水全部吸出所作的功.半径为3米的半球形水池中解出地面后泼出？题意是否为端起整池水否.应该为用抽水机把水抽到池口后顺沟流走..:1的微量分成一小块一小块易算把步A可加区间使每个小块对应一个小造步AxxA,],,[:2210,)(],[:3且相对误差使算步dxxfdxxxAdA],[dxxxWWd的水吸出做的功”“将深度在],[dxxx??sF水层重dxyxg2302)9(dxxxgbxaxbadxxfdAbaAA)(],[:4步把?微分WdW?x?x用微元法水,微分到尽量小,小到水分子因为深度相同的水分子做功相同,所以想到按深度分水,图y3xxdxx),(yxxxg水密度水层体积dxxxg)9(2HRxgxgmkkgdx2)/1()(3微柱体体积2223yx03)(29]9[2302kJgxgdsFdWdsdFdW上例本例注;:21顶部28m作业补3:一长为28m,质量为20kg的均匀链条被悬挂于一建筑物顶部(如图),问需要作多大的功才能把这一链条全部拉上建筑物顶部.作业：P293-1,2,3,4,5,6.P296-112P288例题提示：参考2;/)1(3221rmkm|F|万有引力题提示：;)2(1的质点设地球为mm;,,)3(1的关系之物受力用地面上Rmgmgmm题提示：浮力定律1122二、水压力(P289)(1)当压强为常数时,(2)液体压强定律背景知识：压力=压强×面积,简单记为：F=PS向的任意一点处沿所有方的液体在深度为密度为h)(为重力加速度其中，且都有大小相同的压强gP)(的重量该点处单位面积上液体ghP一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水,例设桶的底半径为R,水的比重为,计算桶的一端面上所受的压力..:1的微量分成一小块一小块易算把步A可加区间使每个小块对应一个小造步AxxA,],,[:2210,)(],