《函数的单调性与极值》教案(优质课)

1《函数的单调性与极值》教案【教学目标】：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；掌握利用导数判断函数单调性的方法；【教学重点】：利用导数判断函数单调性；【教学难点】：利用导数判断函数单调性【教学过程】：一引入：以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1x2的前提下，比较f(x1)f(x2)与的大小，在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.二新课讲授1函数单调性我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342xxy的图像可以看到：在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即/y0时，函数y=f(x)在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即/y0时，函数y=f(x)在区间（，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内/y0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数。2例1确定函数422xxy在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。例2确定函数76223xxy的单调区间。2极大值与极小值观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。一般地，设函数y=f(x)在0xx及其附近有定义，如果)(0xf的值比0x附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x)是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0xf的值比0x附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x)是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它x02y3)(4xf)(1xfoaX1X2X3X4baxy附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x是极大值点，4x是极小值点，而)(4xf)(1xf。（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有0)(xf。但反过来不一定。如函数3xy，在0x处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也4oaX0baxy)(0xf0)(xf0)(xfoaX0baxy)(0xf0)(xf0)(xf不比它附近的点的函数值小。假设0x使0)(0xf，那么0x在什么情况下是的极值点呢？如上左图所示，若0x是)(xf的极大值点，则0x两侧附近点的函数值必须小于)(0xf。因此，0x的左侧附近)(xf只能是增函数，即0)(xf。0x的右侧附近)(xf只能是减函数，即0)(xf，同理，如上右图所示，若0x是极小值点，则在0x的左侧附近)(xf只能是减函数，即0)(xf，在0x的右侧附近)(xf只能是增函数，即0)(xf，从而我们得出结论：若0x满足0)(0xf，且在0x的两侧)(xf的导数异号，则0x是)(xf的极值点，)(0xf是极值，并且如果)(xf在0x两侧满足“左正右负”，则0x是)(xf的极大值点，)(0xf是极大值；如果)(xf在0x两侧满足“左负右正”，则0x是)(xf的极小值点，)(0xf是极小值。5例3求函数44313xxy的极值。三小结1求极值常按如下步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程/y=0的根，这些根也称为可能极值点；④检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法)四巩固练习1确定下列函数的单调区间：（1）7522xxy（2）33xxyxoy62求下列函数的极值（1）672xxy（2）xxy522（3）xxy273（4）323xxy五课堂作业1确定下列函数的单调区间：（1）24xy（2）2)1(xy（3）522xxy（4）xxxy232求下列函数的极值（1）1042xxy（2）7422xxy（3）1323xxy（4）3126xxy（5）xxxy63423（6）422xxy