(完整版)2.3平面向量的基本定理及坐标表示

2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理•给定平面内任意两个向量e1,e2，请作出向量3e1+2e2、e1-2e2，平面内的任一向量是否都可以用形如1e1+2e2的向量表示呢？思考122111112222112..OCOBOAMCOAOBNaOAOBOCOMONOCOMON在平面内任取一点，作，，，过点作平行于直线的直线，与直线交于点；过点作平行于直线的直线，与直线交于点向量的线性运算性质可知，存在实数、，使得由于所以，也就是说任一向量都可以表示成，，eeeeaeeaee2.的形式平面向量基本定理•如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使得a=1e1+2e2.•把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.向量的夹角•已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角，•当=0时，a与b同向；当=180时，a与b反向.•如果a与b的夹角是90，则称a与b垂直，记作ab.OAOB•已知向量e1、e2，求作向量-2.5e1+3e2.解：例题•如图在基底e1、e2下分解下列向量：例题2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对平面直角坐标系内的每一个向量，如何表示呢？思考向量的坐标表示•在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，则对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y使得a=xi+yj，•把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y),•其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，•显然，i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).•与a相等的向量坐标是什么？•与a的坐标相等.•向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？•多对一的对应，因为相等向量对应的坐标相同思考.AOOAAAOA当向量起点被限制在原点时，作，这时向量的坐标就是点的坐标，点的坐标也就是向量的坐标，二者之间建立的一一对应关系a•如图，分别用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标.•解：•a=2i+3j=(2,3),•b=-2i+3j=(-2,3)•c=-2i-3j=(-2,-3)•d=2i-3j=(2,-3).例题•在直角坐标系xOy中，向量a、b、c的方向和长度如图所示，分别求它们的坐标.例题1212(,)(,)(,)452452;cos120sin120;co222222133333322223142342223332,2,,s(30)sin(30),,23,22aabbccaacosaasinbbbbcccc12121212解=：设，，，则，，，因此abcabc2.•如图，e1、e2为正交基底，分别写出图中向量a、b、c、d的分解式，并分别求出它们的直角坐标.练一练•解：•a=2e1+3e2=(2,3)，•b=-2e1+3e2=(-2,3)，•c=-2e1-3e2=(-2,-3)，•d=2e1-3e2=(2,-3).•已知是坐标原点，点在第一象限，，求向量的坐标.练一练OA||43OA60xOAOA,43cos6023,43si   23,6.n60623,6AxyOAAxy解：设点，则即，所以•1．平面向量基本定理；•2．平面向量的正交分解；•3．平面向量的坐标表示.小结•习题2.3A组1，B组3回家作业2.3.3平面向量的坐标运算•1．平面向量基本定理；•2．平面向量的正交分解；•3．平面向量的坐标表示.复习已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，你能得出a+b，a-b，a的坐标吗？思考•a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j=(x1+x2,y1+y2).•同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2)，•a=(x1i+y1j)=x1i+y1j=(x1,y1)，•已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，则=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).ABOBOA平面向量的坐标运算法则•（1）两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．•（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.•（3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.•已知a=(2,1)，b=(-3,4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.•解：•a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5)，•a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3)，•3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).例题•已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4)，试求顶点D的坐标.例题13224,?      12,311,23,4,? 1,23,4,     2,2.2ABDDxyxyCABDCxxyyxyD解：设顶点的坐标为，因为，由，得所以，故顶点的坐标为•如何用坐标表示两个共线向量？•设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，其中b0，•a与b共线，当且仅当存在实数，使a=b，•即(x1,y1)=(x2,y2)，•x1=x2，y1=y2，消去后得，x1y2-x2y1=0.思考2.3.4平面向量共线的坐标表示已知a=(4,2)，b=(6,y)，且a//b，求y.解：∵a//b，∴4y-26=0，∴y=3。例题•已知A(-1,-1)，B(1,3)，C(2,5)，试判断A、B、C三点之间的关系.例题11,312,421,513,62634//.0ABCABACABACABACA解：直线、直线有公共点，所以、、三又，故，点共线，•设线段两端点P1、P2的坐标分别是(x1,y1)，(x2,y2)，•（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；•（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.例题12121212121,222,.212xxyyOPOPOPxPxyy解：所以点的坐标为，121111212111212121221221212133322,3322,.33PPPPOPOPPPOPPPOPOPOPOPOPxxyyPxxyy如果那么所以点的坐标是，3•同理，如果说那么点P的坐标是212PPPP32,322121yyxx•已知a=(3,2)，b=(0,-1)，求-2a+4b，4a+3b的坐标.•(-6,-8)，(12,5)•已知：A(2,3)，B(-1,5)，且，求点C、D、E的坐标.练一练11,3,34ACABADABAEAB111151,,7,9,,242CDE•已知三点A(1,1)，B(-1,0)，C(0,1)，求另一点D(x,y)，使.•若三点A(1,1)，B(2,-4)，C(x,-9)共线，求x的值.x=3练一练ABCD2,0D2,0D•已知2a+b=(-4,3)，a-2b=(3,4)，求向量a、b的坐标.•a=(-1,2)，b=(-2,-1)练一练•1．平面向量的坐标运算法则•2．平面向量共线的坐标表示•3．利用向量思想证明点共线的方法.小结•课本P111练习1、2、3、4、5、6、7回家作业