《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT课件(第课时均值不等式的应用)

合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业第二章等式与不等式2.2不等式2.2.4均值不等式及其应用第2课时均值不等式的应用合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业学习目标核心素养1.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题．(重点)2．会用均值不等式求解实际应用题．(难点)1.通过均值不等式求最值，提升数学运算素养．2．借助均值不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业自主探新知预习合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业已知x，y都是正数．(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最值S24.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最值2p.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．小大合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是()A.72B．4C.92D．5合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业C[∵a＋b＝2，∴a＋b2＝1.∴1a＋4b＝1a＋4ba＋b2＝52＋2ab＋b2a≥52＋22ab·b2a＝92当且仅当2ab＝b2a，即b＝2a时，等号成立.故y＝1a＋4b的最小值为92.]合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业2．若x0，则x＋2x的最小值是________．22[x＋2x≥2x·2x＝22，当且仅当x＝2时，等号成立．]合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业3．设x，y∈N*满足x＋y＝20，则xy的最大值为________．100[∵x，y∈N*，∴20＝x＋y≥2xy，∴xy≤100.]合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业合作提素养探究合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业利用均值不等式求最值【例1】(1)已知x54，求y＝4x－2＋14x－5的最大值；(2)已知0x12，求y＝12x(1－2x)的最大值．[思路点拨](1)看到求y＝4x－2＋14x－5的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y＝12x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业[解](1)∵x54，∴5－4x0，∴y＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业(2)∵0x12，∴1－2x0，∴y＝14×2x(1－2x)≤14×2x＋1－2x22＝14×14＝116.∴当且仅当2x＝1－2x0x12，即x＝14时，ymax＝116.合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章函数的基本性质的知识解决.合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业1．(1)已知x0，求函数y＝x2＋5x＋4x的最小值；(2)已知0x13，求函数y＝x(1－3x)的最大值．合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业[解](1)∵y＝x2＋5x＋4x＝x＋4x＋5≥24＋5＝9，当且仅当x＝4x，即x＝2时等号成立．故y＝x2＋5x＋4x(x0)的最小值为9.合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业(2)法一：∵0x13，∴1－3x0.∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x)≤133x＋1－3x22＝112.当且仅当3x＝1－3x，即x＝16时，等号成立．∴当x＝16时，函数取得最大值112.合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业法二：∵0x13，∴13－x0.∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋13－x22＝112，当且仅当x＝13－x，即x＝16时，等号成立．∴当x＝16时，函数取得最大值112.合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业利用均值不等式求条件最值【例2】已知x＞0，y＞0，且满足8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值．[解]∵x＞0，y＞0，8x＋1y＝1，∴x＋2y＝8x＋1y(x＋2y)＝10＋xy＋16yx≥10＋2xy·16yx＝18，合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业当且仅当8x＋1y＝1，xy＝16yx，即x＝12，y＝3时，等号成立，故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业若把“8x＋1y＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求8x＋1y的最小值．合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业[解]∵x，y∈R＋，∴8x＋1y＝(x＋2y)8x＋1y＝8＋16yx＋xy＋2＝10＋16yx＋xy≥10＋216＝18.当且仅当16yx＝xy时取等号，结合x＋2y＝1，得x＝23，y＝16，∴当x＝23，y＝16时，8x＋1y取到最小值18.合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足均值不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有y＝ax＋bx型和y＝ax(b－ax)型．合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求1a＋1b的最小值．[解]法一：1a＋1b＝1a＋1b·1＝1a＋1b·(a＋2b)＝1＋2ba＋ab＋2＝3＋2ba＋ab≥3＋22ba·ab＝3＋22，合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业当且仅当2ba＝ab，a＋2b＝1，即a＝2－1，b＝1－22时等号成立．∴1a＋1b的最小值为3＋22.合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业法二：1a＋1b＝a＋2ba＋a＋2bb＝1＋2ba＋ab＋2＝3＋2ba＋ab≥3＋22，当且仅当2ba＝ab，a＋2b＝1，即a＝2－1，b＝1－22时等号成立，∴1a＋1b的最小值为3＋22.合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业利用均值不等式解决实际问题【例3】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业[解]设每间虎笼长xm，宽ym，则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业法一：由于2x＋3y≥22x·3y＝26xy，所以26xy≤18，得xy≤272，即Smax＝272，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由2x＋3y＝18，2x＝3y，解得x＝4.5，y＝3.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使每间虎笼面积最大．合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－32y.∵x0，∴0y6，S＝xy＝y9－32y＝32y(6－y)．∵0y6，∴6－y0.∴S≤326－y＋y22＝272.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使每间虎笼面积最大．合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案．合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业[解]设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为2160×1042000x＝10800x.∴每平方米的平均综合费用y＝560＋48x＋10800x＝560＋48x＋225x.当x＋225x取最小值时，y有最小值．合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业∵x0，∴x＋225x≥2x·225x＝30.当且仅当x＝225x，即x＝15时，上式等号成立．∴当x＝15时，y有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业1．利用均值不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用均值不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用均值不等式的情境．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，均值不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到.合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业当堂固双基达标合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业1．思考辨析(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．()(2)若a0，b0且a＋b＝4，则ab≤4.()(3)当x1时，函数y＝x＋1x－1≥2xx－1，所以函数y的最小值是2xx－1.()合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业[提示](1)由a＋b≥2ab可知正确．(2)由ab≤a＋b22＝4可知正确．(3)xx－1不是常数，故错误．[答案](1)√(2)√(3)×合作探究·提素养栏目导航栏目导航当堂达标·固双基自主预习·探新知课时分层作业2．若实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为()A．1B．22C．2D．4A[由均值