圆周运动及其应用

第三节圆周运动及其应用一：匀速圆周运动1.定义：任意相等的时间内通过的弧长相等。1）运动特征：速度大小不变，方向时刻变化。2）运动性质：变速运动（变速曲线运动）。非匀变曲线运动。3）受力特点：合外力大小不变，方向时刻变化。F合⊥V，方向指圆心。变力。即不改变V大小，只改变V方向。二、描述圆周运动的物理量及其相互关系描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、转速、向心加速度、向心力等，现比较如下表：快慢相切转动快慢2πT定义、意义公式、单位线速度(1)描述做圆周运动的物体运动①的物理量(v)(2)是矢量，方向和半径垂直，和圆周②(1)v＝ΔlΔt＝2πrT(2)单位：m/s角速度(1)描述物体绕圆心③的物理量(ω)(2)中学不研究其方向(1)ω＝ΔθΔt＝④(2)单位：rad/s矢量标量一圈圈数方向快慢圆心方向大小圆心mω2r周期和转速(1)周期是物体沿圆周运动⑤的时间(T)(2)转速是物体在单位时间内转过的⑥(n)，也叫频率(f)(1)T＝2πrv；单位：s(2)n的单位r/s、r/min(3)f的单位：Hz，f＝1T向心加速度(1)描述速度⑦变化⑧的物理量(an)(2)方向指向⑨(1)an＝v2r＝ω2r(2)单位：m/s2向心力(1)作用效果是产生向心加速度，只改变线速度的⑩，不改变线速度的⑪(2)方向指向⑫(1)Fn＝⑬＝mv2r＝m4π2T2r(2)单位：N相互关系(1)v＝rω＝2πrT＝2πrf(2)an＝v2r＝rω2＝ωv＝4π2rT2＝4π2f2r(3)Fn＝mv2r＝mrω2＝m4π2rT2＝mωv＝m4π2f2r控制变量讨论其关系三：同轴转动角速度相等，皮带（齿轮）传动线速度相等。固定在同一转轴上的转动的物体各点的角速度相等。不打滑的皮带传动，皮带轮缘各处的线速度相等。例．如右图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若在转动过程中，皮带不打滑，则()A．a点与b点的线速度大小相等B．a点与b点的角速度大小相等C．a点与c点的线速度大小相等D．a点与d点的向心加速度大小相等分析：1.va=vc,ωb=ωc,v=rω.∴vc=2vb.ωa=2ωc.2.aa=va2/r,ad=vd2/4r,而ωd=ωc.则vd=2vc.∴D正确CD1.对于做匀速圆周运动的物体，下面说法正确的是()A．相等的时间里通过的路程相等B．相等的时间里速度变化量相等C．相等的时间里发生的位移相同D．相等的时间里转过的角度相等【解析】物体做匀速圆周运动时线速度大小恒定，所以相等的时间内通过的路程相等，但位移的方向是不相同的，故A对，C错；虽然加速度大小是不变化的，但方向是不断变化的，相等的时间内速度的变化量大小是相等的，但方向不相同，所以相等时间内速度的变化量不相等，故B错；由于做匀速圆周运动的物体的角速度是恒定的，所以相等的时间内转过的角度是相等的，故D对。【答案】AD三、匀速圆周运动与非匀速圆周运动两种运动的比较项目匀速圆周运动非匀速圆周运动定义线速度⑭的圆周运动线速度大小⑮的圆周运动运动特点F向、a向、v均大小不变，方向变化，ω不变F向、a向、v大小、方向均发生变化，ω发生变化向心力F向＝F合由F合沿半径方向的分力提供大小不变不断变化VF合=F向F合只提供F向。只改变V方向，不改变V大小VVF合F合F向F向F切F切F合提供F向只改变V方向，F切只改变V大小。2．小球质量为m，用长为L的悬线固定在O点，在O点正下方L/2处有一光滑圆钉C(如右图所示)。今把小球拉到悬线呈水平后无初速地释放，当悬线呈竖直状态且与钉相碰时()A．小球的速度突然增大B．小球的向心加速度突然增大C．小球的向心加速度不变D．悬线的拉力突然增大【解析】开始球绕O点做圆周运动，当悬线与钉子相碰后，球绕C点做圆周运动，球的转动半径突然变小，而速度大小并没有发生突变，由得，小球的向心加速度突然变大，悬线的拉力F＝mg＋man，所以拉力突然变大。故B、D正确。【答案】BDan＝v2r四、离心运动1．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着飞出去的倾向。圆周切线方向2．受力特点(如图所示)(1)当F＝时，物体做匀速圆周运动；(2)当F＝0时，物体沿切线方向飞出；(3)当F＜时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力。(4)当F＞mrω2时，物体逐渐向靠近。mrω2mrω2圆心供多近心供少离心3.如右图所示，一物体沿光滑球面下滑，在最高点时速度为2m/s，球面半径为1m，求当物体下滑到什么位置时开始脱离球面？(g＝10m/s2)【解析】设物体下滑到某点的半径与竖直半径成θ角时，开始脱离球面。设开始脱离时的速度为v。圆周运动和动能定理由动能定理得：12mv2－12mv20＝mgr(1－cosθ)①脱离球面时，重力沿圆半径方向的分力等于需要的向心力。球面对物体的支持力为0即N=0所以mv2r＝mgcosθ②由①②式可得：cosθ＝45，θ＝37°【答案】当物体下滑到圆上某点时的半径与竖直半径成37°角时圆周运动中的动力学问题分析1．向心力的来源：向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加向心力。2．向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，该力就是向心力。3．解决圆周运动问题的主要步骤(1)审清题意，确定研究对象；(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；(3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；(4)据牛顿运动定律及向心力公式列方程；(5)求解、讨论。如下图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半。内壁上有一质量为m的小物块。求(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；(2)当物块在A点随筒匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。【解题切点】对物块进行受力分析，分别根据共点力平衡和圆周运动所需向心力利用正交分解列方程求解。【解析】(1)物块静止时，对物块进行受力分析如图所示，设筒壁与水平面的夹角为θ。由平衡条件有Ff＝mgsinθFN＝mgcosθ由图中几何关系有cosθ＝RR2＋H2，sinθ＝HR2＋H2故有Ff＝mgHR2＋H2，FN＝mgRR2＋H2(2)分析此时物块受力如右图所示由牛顿第二定律有mgtanθ＝mrω2。其中tanθ＝HR，r＝R2，可得ω＝2gHR。【答案】(1)mgHH2＋R2mgRH2＋R2(2)2gHR2.(2011·杭州模拟)如右图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则()A．球A的线速度必定大于球B的线速度B．球A的角速度必定小于球B的角速度C．球A的运动周期必定小于球B的运动周期D．球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力【解析】对A、B两球受力分析如图，得：FN＝mg/sinθ，故D错误；F合＝mgcotθ＝FA向心＝FB向心＝mv2r＝mrω2＝mr(2πT)2分析得r大，v一定大，ω一定小，T一定大，故A、B正确，C错误。【答案】AB练习1.如图a、b、c质量分别2m、m、m三物体放在旋转的水平台上，它们与台的动摩擦因数同，知ab距轴R,C距轴2R.当圆台转动时，三物体均沿台打滑（fmax=fμ)则（）A.C的a向最大B.b受的f最小C.a的a向最大D.c的f最小。abc分析：1.同轴转动ω同2.a=rω2.3.摩擦力提供向心力：f=F向=mrω2=maAB随ω的增大，谁先滑动？a供=a需，稳定圆周。a供a需，离心圆周。a供a需，近心圆周。所以c先滑动。竖直面内圆周运动问题轻绳模型轻杆模型常见类型过最高点的临界条件由mg＝mv2r得v临＝gr由小球能运动即可得v临＝0讨论分析(1)过最高点时，v≥gr，FN＋mg＝mv2r，绳、轨道对球产生弹力FN。(2)当v＜gr时，不能过最高点，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心。(2)当0＜v＜gr时，－FN＋mg＝mv2r，FN背离圆心，随v的增大而减小。(3)当v＝gr时，FN＝0。(4)当v＞gr时，FN＋mg＝mv2r，FN指向圆心并随v的增大而增大在最高点的FN－v2图线取竖直向下为正方向取竖直向下为正方向物理模型长度为L＝0.50m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如右图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s，g取10m/s2，则此时细杆OA受到()A．6.0N的拉力B．6.0N的压力C．24N的拉力D．24N的压力【解题切点】对于杆类问题在最高点时，既可产生支持力，又可产生拉力。【解析】设小球以速率v0通过最高点时，球对杆的作用力恰好为零，即mg＝mv20L，得v0＝gL＝10×0.50m/s＝5m/s。由于v＝2.0m/s＜5m/s，可知过最高点时，球对细杆产生压力。如右图所示，为小球的受力情况图。由牛顿第二定律mg－FN＝mv2L，得FN＝mg－mv2L＝mg－v2L＝3.0×(10－2.020.50)N＝6.0N。【答案】B3．如图所示，LMPQ是光滑轨道，LM水平，长为5.0m，MPQ是一半径为R＝1.6m的半圆，QOM在同一竖直面上，在恒力F作用下，质量m＝1kg的物体A从L点由静止开始运动，当达到M时立即停止用力。欲使A刚好能通过Q点，则力F大小为多少？(取g＝10m/s2)圆周和动能定理。轻绳模型【解析】物体A经过Q点时，其受力情况如图所示。由牛顿第二定律得：mg＋FN＝mv2R物体A刚好过Q点时有FN＝0解得v＝gR＝4m/s对物体从L到Q全过程，由动能定理得FxLM－2mgR＝12mv2解得F＝8N。【答案】8N1.汽车起重机用2m长的缆绳吊着1t的重物，以2m/s速度水平行驶，若突然刹车，求此瞬间绳的拉力。vmgT分析：车停瞬间，V不发生突变，由于惯性以V大小做圆周运动。解：受力如图由牛顿第二定律：F合=F向。T-mg=所以T=rvm2处理圆周的一般步骤：（1）确定研究对象，找出运动轨迹和圆心（2)正确分析受力(3)建立直角坐标系，常以质点所在位置为圆心，沿半径指圆心为x轴，垂直运动平面或v的方向为y轴。（4）用牛二定律及平衡条件列方程垂直运动平面方向合外力为0指向圆心方向合外力为向心力即Fy=0Fx=F向。2.质量均为m的小球A、B，线OA=AB，如图，以恒定的角速度在光滑的水平面上绕中心轴旋转，求两绳OA、AB的拉力之比A0Bω分析：求受mg,N，T。拉力T提供F向。解：1.对于AX轴：TA-TB=mrAω2.rA=LOA.2.对于By轴：TB=mrBω2.rB=LOB=2rA.所以TA/TB=3/2TATBABTB3.在半径R光滑的半球形碗内，小球质量m，正以ω绕竖直轴在水平面上做匀速圆周运动，求球到碗底的高度H？mgNθR解：小球在与碗口平行的平面上圆周运动，圆周半径r=Rsinθ,受力及坐标系如图。X轴：Nsinθ=mrω2=mRsinθ.ω2.y轴：Nc0sθ=mg∴cosθ=g/Rω2.在三角形中：cosθ=(R-H)/R所以H=R-g/ω2.4.汽车在半径r的水平弯道上转弯，若汽车与地面的动摩擦因数μ那么汽车不发生侧滑的最小速度？分析：汽车转弯时需要的向心力由静摩擦力提供。f静=mv2/r不发生侧滑必f静≤μmg∴V≤√μmr汽车过桥问题分析5.汽车过凸形拱桥（桥顶）（失重）当支持力N=0时，物体将脱离桥面。临界V即是N=0时的速度。rmgN汽车在凸形桥顶的安全速度mg-N=mv2/r∴N=mg-mv2/r