常用积分公式及其推导

常用积分公式及其证明WustZhou2020年7月20日目录1积分公式21.1含有ax+b的积分........................................21.2含有√ax+b的积分.......................................31.3含有x2±a2的积分.......................................31.4含有ax2+b(a0)的积分...................................41.5含有ax2+bx+c(a0)的积分................................41.6含有√x2+a2(a0)的积分..................................41.7含有√x2−a2(a0)的积分..................................51.8含有√a2−x2(a0)的积分..................................61.9含有√±ax2+bx+c(a0)的积分..............................71.10含有q±x−ax−b或p(x−a)(b−x)的积分...........................71.11含有三角函数的积分.......................................71.12含有反三角函数的积分(a0).................................91.13含有指数函数的积分.......................................101.14含有对数函数的积分.......................................101.15含有双曲函数的积分.......................................111.16定积分(m,n∈Z)........................................112积分公式证明112.1含有ax+b的积分........................................112.2含有√ax+b的积分.......................................152.3含有x2±a2的积分.......................................192.4含有ax2+b(a0)的积分...................................202.5含有ax2+bx+c(a0)的积分................................232.6含有√x2+a2(a0)的积分..................................252.7含有√x2−a2(a0)的积分..................................332.8含有√a2−x2(a0)的积分..................................442.9含有√±ax2+bx+c(a0)的积分..............................512.10含有q±x−ax−b或p(x−a)(b−x)的积分...........................542.11含有三角函数的积分.......................................5711积分公式22.12含有反三角函数的积分(a0).................................682.13含有指数函数的积分.......................................712.14含有对数函数的积分.......................................752.15含有双曲函数的积分.......................................762.16定积分(m,n∈Z)........................................773在证明中使用的引理及其证明80前言本文章所包含的积分公式均摘自《同济大学高等数学第7版上册》，并对原书中的一些错误进行修正。为方便读者查看，第一部分仅列出公式，第二部分再给出不完全证明，目录上带有超链接，点击可跳跃查看。本文只考虑如何证明，并不涉及一些细节如被积函数的定义域问题；为了方便，通常不考虑常数因子C的变化，C可以吸收任何常数即C+a=C+b.本文章严格按照数学符号标准编写：变量、函数如f(x)写作斜体，函数符号如sin、常数如e、微分符号d写作直立体。在第二部分证明中，为了方便，其中的一些常用的过程我们用use···的方式替代。其中use的内容在第2第3章有证明方法，点击超链接即可查看。本文仅因学习交流而作，未经作者同意，不允许用作于任何商业用途，侵权必究。因编写仓促，错误难免，如有错误请指正。&15586191281QQ7675099181积分公式1.1含有ax+b的积分Zdxax+b=1aln|ax+b|+C(1.1)Z(ax+b)µdx=1a(µ+1)(ax+b)µ+1+C(1.2)Zxax+bdx=1a2(ax+b−bln|ax+b|)+C(1.3)Zx2ax+bdx=1a312(ax+b)2−2b(ax+b)+b2ln|ax+b|+C(1.4)Zdxx(ax+b)=−1blnax+bx+C(1.5)Zdxx2(ax+b)=−1bx+ab2lnax+bx+C(1.6)Zx(ax+b)2dx=1a2ln|ax+b|+bax+b+C(1.7)Zx2(ax+b)2dx=1a3ax+b−2bln|ax+b|−b2ax+b+C(1.8)1积分公式3Zdxx(ax+b)2=1b(ax+b)−1b2lnax+bx+C(1.9)1.2含有√ax+b的积分Z√ax+bdx=23aq(ax+b)3+C(1.10)Zx√ax+bdx=215a2(3ax−2b)q(ax+b)3+C(1.11)Zx2√ax+bdx=2105a315a2x2−12abx+8b2
q(ax+b)3+C(1.12)Zx√ax+bdx=23a2(ax−2b)√ax+b+C(1.13)Zx2√ax+bdx=215a23a2x2−4abx+8b2
√ax+b+C(1.14)Zdxx√ax+b=8:1√bln√ax+b−√b√ax+b+√b+Cif(b0)2√−barctanrax+b−b+Cif(b0)(1.15)Zdxx2√ax+b=−ax+bbx−a2bZdxx√ax+b(1.16)Z√ax+bxdx=2√ax+b+bZdxx√ax+b(1.17)Z√ax+bx2dx=−√ax+bx+a2Zdxx√ax+b(1.18)1.3含有x2±a2的积分Zdxx2+a2=1aarctanxa+C(1.19)Zdx(x2+a2)n=x2(n−1)a2(x2+a2)n−1+2n−32(n−1)a2Zdx(x2+a2)n−1(1.20)Zdxx2−a2=12alnx−ax+a+C(1.21)1积分公式41.4含有ax2+b(a0)的积分Zdxax2+b=8:1√abarctanrabx+Cif(b0)12√−abln√ax−√−b√ax+√−b+Cif(b0)(1.22)Zxax2+bdx=12alnax2+b+C(1.23)Zx2ax2+bdx=xa−baZdxax2+b(1.24)Zdxx(ax2+b)=12blnx2|ax2+b|+C(1.25)Zdxx2(ax2+b)=−1bx−abZdxax2+b(1.26)Zdxx3(ax2+b)=a2b2ln|ax2+b|x2−12bx2+C(1.27)Zdx(ax2+b)2=x2b(ax2+b)+12bZdxax2+b(1.28)1.5含有ax2+bx+c(a0)的积分Zdxax2+bx+c=8:2√4ac−b2arctan2ax+b√4ac−b2+Cifb24ac
1√b2−4acln2ax+b−√b2−4ac2ax+b+√b2−4ac+Cifb24ac
(1.29)Zxax2+bx+cdx=12alnax2+bx+c−b2aZdxax2+bx+c(1.30)1.6含有√x2+a2(a0)的积分Zdx√x2+a2=arshxa+C1=lnx+√x2+a2+C(1.31)Zdxq(x2+a2)3=xa2√x2+a2+C(1.32)Zx√x2+a2dx=√x2+a2+C(1.33)Zxq(x2+a2)3dx=−1√x2+a2+C(1.34)Zx2√x2+a2dx=x2√x2+a2−a22lnx+√x2+a2+C(1.35)Zx2q(x2+a2)3dx=−x√x2+a2+lnx+√x2+a2+C(1.36)1积分公式5Zdxx√x2+a2=1aln√x2+a2−a|x|+C(1.37)Zdxx2√x2+a2=−√x2+a2a2x+C(1.38)Z√x2+a2dx=x2√x2+a2+a22lnx+√x2+a2+C(1.39)Zq(x2+a2)3dx=x82x2+5a2
√x2+a2+38a4lnx+√x2+a2+C(1.40)Zx√x2+a2dx=13q(x2+a2)3+C(1.41)Zx2√x2+a2dx=x82x2+a2
√x2+a2−a48lnx+√x2+a2+C(1.42)Z√x2+a2xdx=√x2+a2+aln√x2+a2−a|x|+C(1.43)Z√x2+a2x2dx=−√x2+a2x+lnx+√x2+a2+C(1.44)1.7含有√x2−a2(a0)的积分Zdx√x2−a2=x|x|arccosh|x|a+C1=lnx+√x2−a2+C(1.45)Zdxq(x2−a2)3=−xa2√x2−a2+C(1.46)Zx√x2−a2dx=√x2−a2+C(1.47)Zxq(x2−a2)3dx=−1√x2−a2+C(1.48)Zx2√x2−a2dx=x2√x2−a2+a22lnx+√x2−a2+C(1.49)Zx2q(x2−a2)3dx=−x√x2−a2+lnx+√x2−a2+C(1.50)Zdxx√x2−a2=1aarccosa|x|+C(1.51)Zdxx2√x2−a2=√x2−a2a2x+C(1.52)Z√x2−a2dx=x2√x2−a2−a22lnx+√x2−a2+C(1.53)1积分公式6Zq(x2−a2)3dx=x82x2−5a2
√x2−a2+38a4lnx+√x2−a2+C(1.54)Zx√x2−a2dx=13q(x2−a2)3+C(1.55)Zx2√x2−a2dx=x82x2−a2
√x2−a2−a48lnx+√x2−a2+C(1.56)Z√x2−a2xdx=√x2−a2−aarccosa|x|+C(1.57)Z√x2−a2x2dx=−√x2−a2x+lnx+√x2−a2+C(1.58)1.8含有√a2−x2(a0)的积分Zdx√a2−x2=arcsinxa+C(1.59)Zdxq(a2−x2)3=xa2√a2−x2+C(1.60)Zx√a2−x2dx=−√a2−x2+C(1.61)Zxq(a2−x2)3dx=1√a2−x2+C(1.62)Zx2√a2−x2dx=−x2√a2−x2+a22arcsinxa+C(1.63)Zx2q(a2−x2)3dx=x√a2−x2−arcsinxa+C(1.64)Zdxx√a2−x2=1alna−√a2−x2|