空间向量及其运算和空间位置关系(含解析)

归纳与技巧：空间向量及其运算和空间位置关系基础知识归纳一、空间向量及其有关概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.空间向量基本定理(1)定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc．(2)推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使OP＝xOA＋yOB＋zOC且x＋y＋z＝1.二、数量积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.2．向量的坐标运算a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)垂直a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夹角公式cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23三、平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一的．基础题必做1．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是()A．a∥c，b∥cB．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥bD．以上都不对解析：选C∵c＝(－4，－6,2)＝2a，∴a∥c.又a·b＝0，故a⊥b.2．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()A．{a，a＋b，a－b}B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b}D．{a＋b，a－b，a＋2b}解析：选C若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．3．(教材习题改编)下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0；②若MB＝xMA＋yMB，则M、P、A、B共面；③若p＝xa＋yb，则p与a，b共面．其中正确的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选D可判断①②③正确．4．在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________(用a，b，c表示)．解析：如图，OE＝12OA＋12OD＝12OA＋14OB＋14OC＝12a＋14b＋14c.答案：12a＋14b＋14c5．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①(1AA＋11AD＋11AB)2＝311AB2；②1AC·(11AB－1AA)＝0；③向量1AD与向量1AB的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|AB·1AA·AD|.其中正确命题的序号是________．解析：设正方体的棱长为1，①中(1AA＋11AD＋11AB)2＝311AB2＝3，故①正确；②中11AB－1AA＝1AB，由于AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但1AD与1AB的夹角为120°，故③不正确；④中|AB·1AA·AD|＝0.故④也不正确．答案：①②解题方法归纳1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．2．直线的方向向量与平面的法向量的确定：(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB为直线l的方向向量，与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为n·a＝0，n·b＝0.空间向量的线性运算典题导入[例1]如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中G为△A1BD的重心，设AB＝a，AD＝b，1AA＝c，试用a，b，c表示1AC，AG.[自主解答]1AC＝AB＋BC＋1CC＝AB＋AD＋1AA＝a＋b＋c.AG＝1AA＋1AG＝1AA＋13(1AD＋1AB)＝1AA＋13(AD－1AA)＋13(AB－1AA)＝131AA＋13AD＋13AB＝13a＋13b＋13c.本例条件不变，设A1C1与B1D1交点为M，试用a，b，c表示MG.解：如图，MG＝1MA＋1AG＝－12(11AB＋11AD)＋13(1AD＋1AB)＝－12a－12b＋13(AD－1AA)＋13(AB－1AA)＝－12a－12b＋13b－13c＋13a－13c＝－16a－16b－23c解题方法归纳用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则．以题试法1.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x，y，z的值分别为________．解析：∵OG＝OM＋MG＝12OA＋23MN＝12OA＋23(ON－OM)＝12OA＋23ON－23OM＝12OA＋23×12(OB＋OC)－23×12OA＝16OA＋13OB＋13OC∴x，y，z的值分别为16，13，13.答案：16，13，13共线、共面向量定理的应用典题导入[例2]如右图，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，E、F、G、H分别是棱A′D′、D′C′、C′C和AB的中点，求证E、F、G、H四点共面．[自主解答]取ED＝a，EF＝b，EH＝c，则HG＝HB＋BC＋CG＝DF＋2ED＋12AA＝b－a＋2a＋12(AH＋HE＋EA)＝b＋a＋12(b－a－c－a)＝32b－12c，∴HG与b、c共面．即E、F、G、H四点共面．解题方法归纳应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PA＝λPB且同过点PMP＝xMA＋yMB对空间任一点O，OP＝OA→＋tAB对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB对空间任一点O，OP＝xOA＋(1－x)OB对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋(1－x－y)OB以题试法2.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法，求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.证明：(1)连接BG，则EG＝EB＋BG＝EB＋12(BC＋BD)＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH，由共面向量定理知：E、F、G、H四点共面．(2)因为EH＝AH－AE＝12AD－12AB＝12(AD－AB)＝12BD，又因为E、H、B、D四点不共线，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.利用空间向量证明平行或垂直典题导入[例3]已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，边长为2a，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.[自主解答]依题意，以AC所在的直线为x轴，AB所在的直线为z轴，过点A且垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，3a,0)，E(a，3a,2a)．∵F为CD的中点，∴F32a，32a，0.(1)易知，AF＝32a，32a，0，BE＝(a，3a，a)，BC＝(2a,0，－a)，∵AF＝12(BE＋BC)，AF⊄平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)∵AF＝32a，32a，0，CD＝(－a，3a,0)，ED＝(0,0，－2a)，∴AF·CD＝0，AF·ED＝0，∴AF⊥CD，AF⊥ED，即AF⊥CD，AF⊥ED.又CD∩ED＝D，∴AF⊥平面CDE.又AF∥平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.解题方法归纳利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．(1)设直线l1的方向向量v1＝(a1，b1，c1)，l2的方向向量v2＝(a2，b2，c2)．则l1∥l2⇔v1∥v2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)设直线l的方向向量为v＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔v⊥n⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.l⊥α⇔v∥n⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．(3)设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2，α⊥β⇔n1⊥n2.以题试法3．如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝2，M是线段B1D1的中点．(1)求证：BM∥平面D1AC；(2)求证：D1O⊥平面AB1C.证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1,1,0)、D1(0,0，2)，∴1OD＝(－1，－1，2)，又点B(2,2,0)，M(1,1，2)，∴BM＝(－1，－1，2)，∴1OD＝BM，又∵OD1与BM不共线，∴OD1∥BM.又OD1⊂平面D1AC，BM⊄平面D1AC，∴BM∥平面D1AC.(2)连接OB1.∵1OD·1OB＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD·AC＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴1OD⊥1OB，1OD⊥AC，即OD1⊥OB1，OD1⊥AC，又OB1∩AC＝O，∴D1O⊥平面AB1C.1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是()A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析：选D若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A.627B.637C.607D.657解析：选D由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，∴7＝2t－μ，5＝－t＋4μ，λ＝3t－2μ.∴t＝337，μ＝177，λ＝657.3.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，AD＝b，1AA＝c，则下列向量中与BM相等的向量是()A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cC．－12a－12b＋cD.12a－12b＋c解析：选ABM＝1BB＋1BM＝1AA＋12(AD－AB)＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝π3，则cos〈OA，BC〉的值为()A．0B.12C.32D.22解析：选A设OA＝a，OB＝b，OC＝c，由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝π3，且|b|＝|c|，OA·B