【新】高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算1学案含解析新人教A版选修2-2

小中高精品教案试卷制作不易推荐下载1第一课时几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则基本初等函数的导数公式已知函数：(1)y＝f(x)＝c；(2)y＝f(x)＝x；(3)y＝f(x)＝x2；(4)y＝f(x)＝1x；(5)y＝f(x)＝x.问题1：函数y＝f(x)＝c的导数是什么？提示：∵ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx＝c－cΔx＝0，∴y′＝limΔx→0ΔyΔx＝0.问题2：函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？提示：由导数的定义得(2)(x)′＝1，(3)(x2)′＝2x，(4)1x′＝－1x2，(5)(x)′＝12x.问题3：若(1)(2)中的函数表示路程关于时间的函数，则其导数的意义是什么？提示：y′＝0说明某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态；y′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．问题4：函数(2)(3)(5)均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？提示：∵(2)(x)′＝1·x1－1，(3)(x2)′＝2·x2－1，(5)(x)′＝(x12)′＝12x112－＝12x，∴(xα)′＝αxα－1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln__af(x)＝exf′(x)＝ex小中高精品教案试卷制作不易推荐下载2f(x)＝logaxf′(x)＝1xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1x对公式(logax)′＝1xlna与(ax)′＝axlna的理解和记忆(1)区分公式的结构特征，从纵的方面“(lnx)′与(logax)′”和“(ex)′与(ax)′”的区分，又要从横的方面“(logax)′与(ax)′”的区分找出差异，记忆公式．(2)对公式(logax)′，用(lnx)′和复合函数求导法则证明来帮助记忆，即求证对数函数导数公式(logax)′＝1xlogae.证明如下：(logax)′＝lnxlna′＝1lna·1x＝1xlogae.这样就能知道logae的来历，对于记忆和区分很有必要.导数运算法则已知f(x)＝x，g(x)＝1x.问题1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？提示：f′(x)＝1，g′(x)＝－1x2.问题2：试求Q(x)＝x＋1x，H(x)＝x－1x的导数．提示：∵Δy＝(x＋Δx)＋1x＋Δx－x＋1x＝Δx＋－Δxxx＋Δx，∴ΔyΔx＝1－1xx＋Δx，∴Q′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01－1xx＋Δx＝1－1x2.同理H′(x)＝1＋1x2.问题3：Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？提示：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差．小中高精品教案试卷制作不易推荐下载3问题4：′＝f′(x)g′(x)对吗？提示：不对，因为f(x)g(x)＝1，′＝0，而f′(x)g′(x)＝1×－1x2＝－1x2.导数运算法则1．′＝f′(x)±g′(x)；2．′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；3.fxgx′＝fxgx－fxgx[gx2(g(x)≠0)．导数的运算法则的认识1．在两个函数积与商的导数运算中，不能认为′＝f′(x)g′(x)以及fxgx′＝fxgx.2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．3．(1)′＝f1′(x)＋f2′(x)＋…＋fn′(x)；(2)′＝cf′(x)，也就是说，常数与函数的积的导数等于常数乘函数的导数．利用导数公式直接求导求下列函数的导数：(1)y＝10x；(2)y＝lgx；(3)y＝log12x；(4)y＝4x3；(5)y＝sinx2＋cosx22－1.(1)y′＝(10x)′＝10xln10；(2)y′＝(lgx)′＝1xln10；(3)y′＝(log12x)′＝1xln12＝－1xln2；(4)y′＝(4x3)′＝(x34)′＝34x－14＝344x；小中高精品教案试卷制作不易推荐下载4(5)∵y＝sinx2＋cosx22－1＝sin2x2＋2sinx2cosx2＋cos2x2－1＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.应用求导公式应注意的问题求函数的导数，一般不再用定义，而主要应用导数公式，这就要求必须熟记常见的求导公式，应用公式时一般遵循“先化简，再求导”的基本原则．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．求下列函数的导数：(1)y＝1ex；(2)y＝110x；(3)y＝lg5；(4)y＝3lg3x；(5)y＝2cos2x2－1.解：(1)y′＝1ex′＝1exln1e＝－1ex＝－e－x；(2)y′＝110x′＝110xln110＝－ln1010x＝－10－xln10；(3)∵y＝lg5是常数函数，∴y′＝(lg5)′＝0；(4)∵y＝3lg3x＝lgx，∴y′＝(lgx)′＝1xln10；(5)∵y＝2cos2x2－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.利用导数的运算法则求函数的导数求下列函数的导数：(1)y＝x3·ex；(2)y＝x－sinx2cosx2；小中高精品教案试卷制作不易推荐下载5(3)y＝x2＋log3x；(4)y＝ex＋1ex－1.(1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex.(2)∵y＝x－12sinx，∴y′＝x′－12(sinx)′＝1－12cosx.(3)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋1xln3.(4)y′＝x＋x－－x＋x－x－2＝exx－－x＋xx－2＝－2exx－2.利用运算法则求导数的方法对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式．在不宜直接应用导数公式时，应先对函数进行化简，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．求下列函数的导数：(1)y＝cosxx；(2)y＝xsinx＋x；(3)y＝1＋x1－x＋1－x1＋x；(4)y＝lgx－1x2.解：(1)y′＝cosxx′＝cosx′·x－cosx·x′x2＝－x·sinx－cosxx2＝－xsinx＋cosxx2.(2)y′＝(xsinx)′＋(x)′＝sinx＋xcosx＋12x.(3)∵y＝1＋x21－x＋1－x21－x＝2＋2x1－x＝41－x－2，∴y′＝41－x－2′＝－41－x′1－x2＝41－x2.(4)y′＝lgx－1x2′＝(lgx)′－1x2′小中高精品教案试卷制作不易推荐下载6＝1xln10＋2x3.导数几何意义的应用(1)(广东高考)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．(1)∵y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5e0＝－5，∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝3x2－10，所以3x20－10＝2，解得x0＝±2.又点P在第一象限内，所以x0＝2.又点P在曲线C上，所以y0＝23－10×2＋13＝1，所以点P的坐标为(2,1)．答案：(1)5x＋y＋2＝0(2)(2,1)导数几何意义的应用根据导数的几何意义，可直接得到曲线上一点处的切线的斜率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时，要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标．若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝________.解析：f′(x)＝－asinx，g′(x)＝2x＋b，∵曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，∴f(0)＝a＝g(0)＝1，且f′(0)＝0＝g′(0)＝b，∴a＋b＝1.答案：11.切线方程的求法已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．由已知得f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3－6＋3a＝3a－3，且f(1)＝1－3＋3a－3a＋3＝1.小中高精品教案试卷制作不易推荐下载7故所求切线方程为y－1＝(3a－3)(x－1)，即3(a－1)x－y＋4－3a＝0.1．利用导数研究切线问题是一个很重要的知识点，它突出表现了导数几何意义的价值，也是高考的常考内容．利用导数求解切线方程常常要先求出原函数的导函数，再利用导数的几何意义求出切点或斜率，最后借助直线方程的点斜式写出所求的切线方程．2．本题比较简单，属于“已知切点求切线方程”问题，只要求出导数，再利用点斜式方程求解即可．另外，高考对切线的考查还有以下几种方式．：已知斜率，求切线方程．此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程．例：求与直线x＋4y＋1＝0垂直的曲线f(x)＝2x2－1的切线方程．解：因为所求切线与直线x＋4y＋1＝0垂直，所以所求切线的斜率k＝4.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝4x0＝4，即x0＝1，所以切点坐标为(1,1)，故所求切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.：已知过曲线上一点，求切线方程．过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点，进而求出切线方程．例：求过曲线f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．解：设切点坐标为(x0，y0)因为f′(x)＝3x2－2，所以f′(x0)＝3x20－2，且y0＝f(x0)＝x30－2x0，所以切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0)，即y－(x30－2x0)＝(3x20－2)(x－x0)．因为切线过点(1，－1)，故－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)·(1－x0)，即2x30－3x20＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－12，故所求切线方程为x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.：已知过曲线外一点，求切线方程．这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点，从而求出切小中高精品教案试卷制作不易推荐下载8线方程．例：已知函数f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程．解：由题意知点A(0,16)不在曲线f(x)＝x3－3x上，设切点坐标为M(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20－3，故切线方程为y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．又因为点A(0,16)在切线上，所以16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)，化简得x30＝－8，解得x0＝－2，即切点为M(－2，－2)，故切线方程为9x－y＋16＝0.1．给出下列结论：①(cosx)′＝sinx；②sinπ3′＝cosπ3；③若y＝1x2，则y′＝－1x；④－1x′＝12xx.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选B(cosx)′＝－sinx，所以①错误；sinπ3＝32，而32′＝0，所以②错误；1x2′＝0－x2x4＝－2xx4＝－2x－3，所以③错误；－1x′＝－0－x12x＝12x12－x＝12x32－＝12xx，所以④正确．2．函数y＝sinx·cosx的导数是()A．y′＝cos2x＋sin2xB．y′＝cos2x－sin2xC．