三角函数知识点整理

三角函数知识点-1-1.角的有关概念(1)角的概念：角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。射线的端点叫做角的顶点;旋转开始时的射线叫做角的始边;旋转终止时的射线叫做角的终边。(2)正角、负角和零角按逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当一条射线没有作任何旋转时而成的角叫做零角.(3)象限角在平面直角坐标系下,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合,角的终边落在第几象限,就把这个角称做第几象限角,若角的终边落在坐标轴上,称为轴线角,这个角不属于任何象限.(4)各个象限的半角范围可以用下图记忆，图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第一、二、三、四象限角的半角范围；(5)终边相同的角与角终边相同的角所组成的集合:S={2,}kkz2.角度制与弧度制设扇形的弧长为l，圆心角为a（rad）,半径为R，面积为S角a的弧度数公式2π×(a/360°)角度与弧度的换算①360°=2πrad②1°=π/180rad③1rad=180°/π=57°18′≈57.3°弧长公式Ral扇形的面积公式lRS213.任意角的三角函数三角函数（6个）表示：a为任意角，角a的终边上任意点P的坐标为),(yx，它与原点的距离为220rxy（r＞0,当点P在单位圆上时，r=1）那么角a的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是：ryasin，rxacos，xyatan，yxacot，xrasec，yracsc.4.同角三角函数关系式③倒数关系：1cottanaa②商数关系：aaacossintan，aaasincoscot③平方关系：1cossin22aa三角函数知识点-2-5.三角函数符号规律6.l特殊锐角（0°，30°，45°，60°，90°）的三角比的值7.诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）k·/2+a所谓奇偶指的是整数k的奇偶性公式三角函数sincostan诱导公式一sin)2sin(kcos)2cos(ktan)2tan(k诱导公式二sin)sin(cos)cos(诱导公式三sin)sin(cos)cos(诱导公式四sin)sin(cos)cos(诱导公式五诱导公式六注：sincostan三角函数知识点-3-8.两角和与差的三角函数：（1）两角和与差公式：sin()sincoscossin,sin()sincoscossincos()coscossinsin,cos()coscossinsintantantantantan(),tan()1tantan1tantan（2）二倍角公式：22222sin22sincoscos2cossin2cos112sin2tantan21tan升幂公式22221cos2sin1cos22sin2(1cos21cos22coscos2降幂公式）（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：2cos12sinaa，2cos12cosaa，aaaaaaasincos1cos1sincos1cos12tan（4）辅助角公式（5）三角函数的积化和差，可得：（6）三角函数的和差化积公式三角函数知识点-4-9.三角函数的图像和性质：（其中zk）三角函数xysinxycosxytan图象定义域RR2kx值域[-1,1][-1,1]R最小正周期2T2TT奇偶性奇偶奇单调性]22,22[kk单调递增]232,22[kk单调递减]2,)12[(kk单调递增])12(,2[(kk单调递减)2,2(kk单调递增对称性2kx（对称轴）)0,(k（对称中心）kx（对称轴）)0,2(k（对称中心）)0,2(k（对称中心）零值点kx2kxkx最值点2kx,1maxy2kx,1minykx2，1maxy；)12(kx，1miny无10.函数)sin(xAy的图像与性质：（本节知识考察一般能化成形如)sin(xAy图像及性质）（1）函数)sin(xAy和)cos(xAy的周期都是2T（2）函数)tan(xAy和)cot(xAy的周期都是T（3）五点法作)sin(xAy的简图，设xt，取0、2、、23、2来求相应x的值以及对应的y值再描点作图。X02322t2322sin()Ax0A0A0三角函数知识点-5-（4）sinyx经过变换变为sinyxA（）的步骤：方法1：先平移后伸缩1sinsinsinsinyxyxyxyx横坐标变为原来的倍纵坐标不变向左或向右平移个单位纵坐标变为原来的A倍横坐标不变（）A（）方法2：先伸缩后平移1sinsinsin()sinyxyxyxyx向左或向右平移个单位横坐标变为原来的倍纵坐标不变纵坐标变为原来的A倍横坐标不变（）A（）（5）函数的平移变换：①)0)(()(aaxfyxfy将)(xfy图像沿x轴向左（右）平移a个单位（左加右减）②)0()()(bbxfyxfy将)(xfy图像沿y轴向上（下）平移b个单位（上加下减）函数的伸缩变换：①)0)(()(wwxfyxfy将)(xfy图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的w1倍（1w缩短，10w伸长）②)0)(()(AxAfyxfy将)(xfy图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（1A伸长，10A缩短）函数的对称变换：①)()(xfyxfy)将)(xfy图像绕y轴翻折180°（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于x轴对称）②)()(xfyxfy将)(xfy图像绕x轴翻折180°（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于y轴对称）③)()(xfyxfy将)(xfy图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）④)()(xfyxfy保留)(xfy在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去（局部翻动）三角函数知识点-6-11.正、余弦定理：①正弦定理：在ABC中有:2sinsinsinabcRABC（R为ABC外接圆半径）2sin2sin2sinaRAbRBcRCsin2sin2sin2aARbBRcCR面积公式：111sinsinsin222ABCSabsCacBbcA②余弦定理：在三角形ABC中有:2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab三角函数知识点-7-5.三角变换：三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。（1）角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删除角的恒等变形（2）函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：)sin(cossin22baba其中2222sin,cosbabbaa（3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“1”。（4）幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如：acos1常用升幂化为有理式。（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。（6）结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。（7）消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法（8）思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去选择更合适、简捷的方法去解题目。（9）利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子：aacossin，aacossinaacossin，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。6.函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：①bxaysin（或)cosbxa型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论②xbxaycossin型：引进辅助角化成)sin(22xbay再利用有界性③cxbxaysinsin2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sinx的约束④dxcbxaysinsin型：反解出xsin，化归为1sinx解决⑥cxxbxxaycossin)cos(sin型：常用到换元法：xxtcossin，但须注意t的取值范围：2t。（3）三角形中常用的关系：)sin(sinCBA，)cos(cosCBA，2cos2sinCBA，)(2sin2sinCBA，)(2cos2cosCBA三角函数知识点-8-三角函数值域总结：注意：定义域的取值1、应用提斜公式，形如cbaycossin可直接用公式。形如dxcxxbxay22coscossinsin，逆用倍角公式化成提斜的形式。形如)cos(sinxbxay或)cos(sinxxay的的函数（式中也可以是同名函数），先、用和差化积公式展开，化归为例1、例2的形式求最值.形如dxcbxaycossin的函数可将y看作参数，利用提斜公式。2、利用倍角公式、半角公式、化同名三角函数，然后配方3、“1”的妙用，形如sinxcosxsinxcosx在关系式中时，可以应用换元处理，令t=sinxcosx，则sinxcosx=2t-12把三角问题化为代数为题来处理。4.形如sinsinaxbycxd的函数用分离变量法分离常数，利用sinx的有界性求解.5、形如dxcbxaycossin的函数可将y看作参数，化归为例1的形式求解6、求同时含有xxcossin与xxcossin（或xxcossin）的函数的值域，一般令txxcossin(或txxcossin)可以化归为求cbtaty2在区间上的值域，要注意t的取值范围.例：函数)0(sincos2abxaxy的定义域为2,0，值域为0,4，求常数ba,.解;bxaxysincos2bxaxsinsin1222sin1,24aaxb22sin1,1,1,1,124aatxytbt令则)2,1,0,0(1)1,4,4(2).(1)(2)2,2iatybatybaab若则当时取最大值即而当时取最小值即联立解得2)02,,0,10(3),1,4,4(4).24(3)(4),26,,,.,2,2aaiiatybtybaaaab若则当时取最大值即而当时取最小值即联立解得或经检验都不合题意舍去综上所述1、求xxxxy22cos3cossin2sin的最小值，并求使y取最小值时x的集合.三角函数知识点-9-2、求)cos(sinsin2xxxy的值域。3、求1)32cos(