一元二次方程讲义全

一元二次方程讲义考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。(2)一般表达式：)0(02acbxax注：当b=0时可化为02cax这是一元二次方程的配方式(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02acbxax的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：02cbxax时，应满足（a≠0）(4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A12132xxB02112xxC02cbxaxD1222xxx变式：当k时，关于x的方程3222xxkx是一元二次方程。例2、方程0132mxxmm是关于x的一元二次方程，则m的值为。考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322yy的值为2，则1242yy的值为。例2、关于x的一元二次方程04222axxa的一个根为0，则a的值为。说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x的一元二次方程002acbxax的系数满足bca，则此方程必有一根为。说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。例4、已知ba,是方程042mxx的两个根，cb,是方程0582myy的两个根，则m的值为。例5、已知ba，0122aa，0122bb，求ba变式：若0122aa，0122bb，则abba的值为。6、方程02acxcbxba的一个根为（）A1B1CcbDa7、若yx则yx324,0352。考点三、方程解法（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。（2）方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法类型一、直接开方法：就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如mxmmx其解为：,02※对于max2，22nbxmax等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：;08212x（2）7)132x（;09132x（4）2221619xx（5）11162492xx例2、解关于x的方程：02bax3.下列方程无解的是（）A.12322xxB.022xC.xx132D.092x类型二、配方法基本步骤:1.先将常数c移到方程右边2.将二次项系数化为13.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完全平方式：※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例1、试用配方法说明322xx的值恒大于0，47102xx的值恒小于0。例2、已知x、y为实数，求代数式74222yxyx的最小值。变式：若912322xxt，则t的最大值为，最小值为。例3、已知，x、yyxyx0136422为实数，求yx的值。变式1：已知041122xxxx，则xx1.变式2：如果4122411bacba,那么cba32的值为。例4、分解因式：31242xx类型三、因式分解法:把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法021xxxx21,xxxx或※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，※方程形式：如22nbxmax，cxaxbxax，0222aaxx※分解方法:提公因式,利用平方差与完全平方公式,十字相乘法针对练习：例1、3532xxx的根为（）A25xB3xC3,2521xxD52x例2.（1）221694ba(平方差)(2)yxyxyx3234268(提公因式)（3）22)(4)(nmnm（平方差)（4）962aa(完全平方式)(5）223612yxxy(完全平方式)（6）4)(5)(2baba（十字相乘法）（7）22127qpqp（十字相乘法）（8）32)2(2)2(5mnnmn(提公因式)例3、若044342yxyx，则4x+y的值为。例4、方程062xx的解为（）A.2321，xxB.2321，xxC.3321，xxD.2221，xx例5、解方程：04321322xx例6、已知023222yxyx,则yxyx的值为。变式：已知023222yxyx,且0,0yx,则yxyx的值为。例7、解下列方程(1)(2x–3)2=(3x–2)2(2)4x+145-x-52=23x+2(4)5m2–17m+14=0(5)(x2+x+1)(x2+x+12)=42类型四、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当判别式大于等于零时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式,就可得到方程的根。⑴条件：04,02acba且⑵公式：aacbbx242,04,02acba且典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：⑴.6132x⑵.863xx⑶0142xx⑷01432xx⑸5211313xxxx说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。类型五、“降次思想”的应用主要内容：⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。典型例题：例1、已知0232xx，求代数式11123xxx的值。例2、如果012xx，那么代数式7223xx的值。例3、已知a是一元二次方程0132xx的一根，求1152223aaaa的值。说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：①能对已知式进行灵活的变形；②能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幂化为低次幂，最后求解。例4、用两种不同的方法解方程组)2(.065)1(,6222yxyxyx说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根与系数的关系⑴前提：对于02cbxax而言，当满足①0a、②0时，才能用韦达定理。⑵主要内容：acxxabxx2121,⑶应用：整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822xx的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A.3B.3C.6D.6说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握ba、ba、ab、22ba之间的运算关系.例2、解方程组：.2,10)2(;24,10)1(22yxyxxyyx说明：一些含有yx、22yx、xy的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便.例3、已知关于x的方程011222xkxk有两个不相等的实数根21,xx，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。例4、当k取何值时，方程04234422kmmxmxx的根与m均为有理数？例5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例6、已知ba，0122aa，0122bb，求ba变式：若0122aa，0122bb，则abba的值为。例7、已知,是方程012xx的两个根，那么34.测试题目：一、选择题1．解方程：3x2+27=0得（）.(A)x=±3(B)x=-3(C)无实数根(D)方程的根有无数个2.方程(x-1)2=4的根是().(A)3,-3(B)3,-1(C)2,-3(D)3,-2二、填空3．方程9x2=25的根是___________.4.已知二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t=________,另一个根是_________.5.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为__________.6.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.7.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个相同的解,则a=________.三、用适当的方法解下列关于x和y的方程(x+2)(x-2)=1.(3x-4)2=(4x-3)23x2-4x-4=0.x2+x-1=0.x2+2x-1=0.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.8．用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.（A）因式分解法（B）配方法（C）公式法9．解关于x的方程：x2-2x+1-k（x2-1）=010．已知|2m-3|=1，试解关于x的方程3mx（x+1）-5（x+1）（x-1）=x211、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？12、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少?