高中数学第一章三角函数章节复习

高中数学专题复习第一章三角函数章节复习三角函数任意角概念角:一条射线绕其端点旋转所形成的图形叫作角正角:按逆时针方向旋转所成的角零角:没有任何旋转的角负角:按顺时针方向旋转所成的角弧度制1弧度的角:在单位圆(半径为1的圆)中,单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角1rad=180π°,1°=π180rad公式:|𝛼|=𝑙𝑟,𝑆=12𝑙𝑟象限角和轴线角象限角:终边落在第几象限就是第几象限角轴线角:终边在𝑥轴上:𝛼=𝑘π(𝑘∈Z),终边在𝑦轴上:𝛼=𝑘π+π2(𝑘∈Z)终边相同的角的集合:{𝛽|𝛽=2𝑘π+𝛼,𝑘∈Z}三角函数三角函数的定义:sin𝛼=𝑦𝑟,cos𝛼=𝑥𝑟,tan𝛼=𝑦𝑥诱导公式:2𝑘π+𝛼(𝑘∈Z),-𝛼,π±𝛼,π2±𝛼,2π-𝛼性质𝑦=sin𝑥:𝑥∈R,𝑦∈[-1,1],𝑇=2π,奇函数,有递增和递减区间𝑦=cos𝑥:𝑥∈R,𝑦∈[-1,1],𝑇=2π,偶函数,有递增和递减区间𝑦=tan𝑥:𝑥≠𝑘π+π2,𝑘∈Z,𝑦∈R,𝑇=π,奇函数,仅有递增区间𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图像五点法作图:令𝜔𝑥+𝜑=0,π2,π,3π2,2π图像变换:平移变换、伸缩变换𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的性质定义域:R值域:[-|𝐴|,|𝐴|]周期:𝑇=2π|𝜔|奇偶性:当𝜑=𝑘π(𝑘∈Z)时,为奇函数;当𝜑=𝑘π+π2(𝑘∈Z)时,为偶函数单调性:有递增和递减区间对称性:对称中心𝑘π-𝜑𝜔,0(𝑘∈Z),对称轴𝑥=𝑘π+π2-𝜑𝜔(𝑘∈Z)实际应用:在生活、建筑、物理、航海等方面的应用专题一专题二专题三专题一三角函数的求值与化简三角函数的求值与化简主要是指根据三角函数的定义及诱导公式求三角函数式的值或对三角函数式化简.要掌握三角函数的定义、特殊角的三角函数值,熟记诱导公式.专题一专题二专题三【例1】(1)已知角α终边上一点P(-4,3),求sin(4π-𝛼)cos(3π+𝛼)cosπ2+𝛼cos15π2-𝛼cos(π-𝛼)sin(3π-𝛼)sin(-π-𝛼)sin13π2+𝛼的值.(2)若角π+θ的终边与单位圆的交点是P-13,223.①求cosθ的值;②求tan(θ-3π)的值.分析:(1)先根据三角函数的定义求出sinα,cosα,tanα的值,再将待求值式子化简,最后代入求值.(2)根据三角函数的定义,先求出sin(π+θ)与cos(π+θ)以及tan(π+θ)的值,再化简求值.专题一专题二专题三解:(1)由已知得x=-4,y=3,r=𝑥2+𝑦2=5,所以sinα=35,cosα=-45,于是原式=(-sin𝛼)(-cos𝛼)(-sin𝛼)cos7π+π2-𝛼(-cos𝛼)sin(π-𝛼)[-sin(π+𝛼)]sin6π+π2+𝛼=-sin2𝛼cos𝛼-cosπ2-𝛼(-cos𝛼)sin𝛼[-(-sin𝛼)]sinπ2+𝛼=sin2𝛼cos𝛼sin𝛼-cos𝛼sin2𝛼cos𝛼=-sin𝛼cos𝛼=34.(2)①由已知得sin(π+θ)=223,cos(π+θ)=-13,于是-cosθ=-13,从而cosθ=13.②由①知tan(π+θ)=223-13=-22,即tanθ=-22.因此,tan(θ-3π)=tanθ=-22.专题一专题二专题三变式训练1(1)角α的终边上有一点P(m,5),且cosα=(m≠0),则sinα+cosα=.(2)求值:3sin-20π3tan11π3-cos13π4·tan-37π4.𝑚13(1)答案:-713或1713(2)解:原式=-3sin20π3tan3π+2π3+cos2π+5π4·tan37π4=-3sin2π3tan2π3+cos5π4·tanπ4=-3×32-3+-22×1=32−22=3-22.专题一专题二专题三专题二三角函数的图像与变换三角函数的图像一般用五点法作图,作图的关键是正确找出五个关键点;根据三角函数的图像求解析式可以利用代入法,也可以用五点作图中的关键点法;图像的变换问题要注意变换的顺序以及函数名的统一.专题一专题二专题三【例2】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A0,ω0)的部分图像如图所示,则f(0)的值是.解析:由图可知,A=2,𝑇4=7π12−π3=π4,所以T=π,ω=2π𝑇=2.又函数图像经过点π3,0,所以2×π3+φ=π,则φ=π3,故函数的解析式为f(x)=2sin2𝑥+π3,所以f(0)=2sinπ3=62.答案:62专题一专题二专题三解析:(1)由于T=π,则ω=2,因此,f(x)=sin2𝑥+π4.又因为g(x)=cos2x=sin2𝑥+π2,而f(x+φ)=sin2(𝑥+𝜑)+π4=sin2𝑥+2𝜑+π4,故φ=π8,则只要将函数y=f(x)的图像上所有点向左平移个单位长度就得到函数g(x)=cosωx的图像.π8专题一专题二专题三(2)由图可知,A=2,𝑇4=7π12−π3=π4,所以T=π,ω=2π𝑇=2.又函数图像经过点π3,0,所以2×π3+φ=π,则φ=π3,故函数的解析式为f(x)=2sin2𝑥+π3,所以f(0)=2sinπ3=62.答案:(1)A(2)62专题一专题二专题三变式训练2(1)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω0,-π≤φπ)的图像如图所示,则φ=.(2)将函数y=sin𝑥-π3的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图像上的所有点向左平移π3个单位长度,得到的图像对应的解析式是.专题一专题二专题三解析:(2)将函数y=sin𝑥-π3图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin12𝑥-π3的图像,再向左平移π3个单位,得到y=sin12𝑥+π3-π3的图像,即y=sin12𝑥-π6的图像.答案:(1)9π10(2)y=sin12𝑥-π6专题一专题二专题三专题三三角函数的性质1.三角函数的周期在不加说明的情况下,就是指最小正周期.求三角函数的周期一般要先通过三角恒等变形将三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k,y=Acos(ωx+φ)+k及y=Atan(ωx+φ)+k的形式,再用公式求解,另外还可以利用图像求出三角函数的周期.2.研究函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性时,应先考虑其定义域,若其定义域关于原点对称,则当φ=kπ(k∈Z)时,函数为奇函数;当φ=kπ+π2(k∈Z)时,函数为偶函数;当φ≠𝑘π2(k∈Z)时,函数为非奇非偶函数.3.求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω0)的单调区间时(若ω0,可先利用诱导公式将x前的系数ω变成正值),应把ωx+φ视为一个整体,由A的符号来确定单调性.专题一专题二专题三4.求三角函数的最值有三种方法:(1)利用函数y=Asin(ωx+φ)的值域求得;(2)利用换元法,把sinx,cosx看成一个变量,转化为求二次函数的最值;(3)利用数形结合.专题一专题二专题三【例3】(1)函数y=cosπ4-𝑥在()A.[-π,0]上是增加的B.-3π4,π4上是增加的C.-π2,π2上是增加的D.π4,5π4上是增加的(2)已知函数f(x)=2sin𝜔𝑥+π6(ω0,x∈R).在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为π3,则f(x)的最小正周期为()A.π2B.2π3C.πD.2π(3)已知|x|≤π4,求函数y=f(x)=-sin2x+sinx+1的最小值.专题一专题二专题三(1)解析:y=cosπ4-𝑥=cos𝑥-π4,当2kπ-π≤x-π4≤2kπ(k∈Z)时,函数是增加的,解得2kπ-3π4≤x≤2kπ+π4(k∈Z).当k=0时,-3π4≤x≤π4,故函数在-3π4,π4上是增加的.答案:B专题一专题二专题三(2)解析:因为sin𝜔𝑥+π6=12,所以ωx1+π6=π6+2k1π(k1∈Z)或ωx2+π6=5π6+2k2π(k2∈Z),则ω(x2-x1)=2π3+2(k2-k1)π(k1,k2∈Z).又相邻交点距离的最小值为π3,所以ω=2,故f(x)的最小正周期为2π2=π.答案:C专题一专题二专题三(3)思路分析:利用换元法转化为求二次函数的最值问题.解:令t=sinx.因为|x|≤π4,所以-22≤sinx≤22.所以y=-t2+t+1=-𝑡-122+54-22≤𝑡≤22.所以当t=-22,即x=-π4时,f(x)有最小值,且最小值为--22-122+54=1-22.专题一专题二专题三变式训练3(1)当x=π4时,函数y=f(x)=Asin(x+φ)(A0)取得最小值,则函数y=f3π4-𝑥是()A.奇函数,且当x=π2时取得最大值B.偶函数,且图像关于点(π,0)对称C.奇函数,且当x=π2时取得最小值D.偶函数,且图像关于点π2,0对称(2)函数y=Asin(ωx+φ)在x∈(0,7π)内只取到一次最大值和一次最小值,且当x=π时,ymax=3;当x=6π时,ymin=-3.①求此函数的解析式;②求此函数的单调递增区间.𝐴0,𝜔0,0≤𝜑≤π2专题一专题二专题三(1)解析:∵fπ4=-A,∴sinπ4+𝜑=-1,∴φ=5π4+2kπ,k∈Z,∴y=f3π4-𝑥=Asin(-x)=-Asinx,∴y=f3π4-𝑥是奇函数,且当x=π2时取得最小值.答案:C专题一专题二专题三所以此函数的单调递增区间为[-4π+10kπ,π+10kπ](k∈Z).(2)解:①由题意得A=3,12T=5π,∴T=10π,∴ω=2π𝑇=15.∴y=3sin15𝑥+𝜑.∵点(π,3)在此函数图像上,∴3sinπ5+𝜑=3.∴π5+φ=π2+2kπ,k∈Z.∵0≤φ≤π2,∴φ=3π10.∴此函数的解析式为y=3sin15𝑥+3π10.②当-π2+2kπ≤15x+3π10≤π2+2kπ(k∈Z),即-4π+10kπ≤x≤π+10kπ(k∈Z)时,函数y=3sin15𝑥+3π10单调递增,知识网整合构建小专题概括总结知识网整合构建小专题概括总结