高一数学函数单调性例题

高一数学函数单调性典型例题例1．(1)()(21),fxaxbR设函数是上的减函数则a的范围为(D)A．12aB．12aC．12aD．12a提示：2a10时该函数是R上的减函数.(2)函数2([0,)yxbxcx)是单调函数的充要条件是(A)A．0bB．0bC．0bD．0b提示：考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象(3)已知()fx在区间(,)上是减函数，,abR且0ab，则表达正确的是（D）A．()()[()()]fafbfafbB．()()()()fafbfafbC．()()[()()]fafbfafbD．()()()()fafbfafb提示：0ab可转化为ab和ba在利用函数单调性可得.(4)如下图是定义在闭区间上的函数()yfx的图象,该函数的单调增区间为[-2,1]和[3,5]提示:根据图象写出函数的单调区间.注意区间不能合并.(5)函数223yxx的单调减区间是(,3]提示:结合二次函数的图象,注意函数的定义域.例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）22||1yxx（2）2|23|yxx解：(1)2221(0)21(0)xxxyxxx即22(1)2(0)(1)2(0)xxyxx如图所示，单调增区间为(,1][0,1]和，单调减区间为[1,0][1,)和（2）当2230,13xxx得，函数2223(1)4yxxx当2230,13xxxx得或，函数2223(1)4yxxx即22(1)4(13)(1)4(13)xxyxxx或如图所示，单调增区间为[1,1][3,]和，单调减区间为(,1][1,3]和(1)(2)例3．根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数．证明：设1212,xxRxx且则33221221212121()()()()fxfxxxxxxxxx12xx因为210xx所以，且在1x与2x中至少有一个不为0，不妨设20x，那么222222121123()24xxxxxxx0，12()()fxfx所以故()fx在(,)上为减函数例4.设)(xf是定义在R上的函数，对m、Rn恒有)()()(nfmfnmf，且当0x时，1)(0xf。（1）求证：1)0(f；（2）证明：Rx时恒有0)(xf；（3）求证：)(xf在R上是减函数；（4）若()(2)1fxfx，求x的范围。解：(1)取m=0，n=12则)0()21()021(fff，因为1()02f所以(0)1f(2)设0x则0x，由条件可知()fxo又因为1(0)()()()0ffxxfxfx，所以()0fx∴Rx时，恒有0)(xf（3）设12xx则121211()()()()fxfxfxfxxx=1211()()()fxfxxfx=121()[1()]fxfxx因为12xx所以210xx所以21()1fxx即211()0fxx又因为1()0fx，所以121()[1()]0fxfxx所以12()()0fxfx，即该函数在R上是减函数.(4)因为()(2)1fxfx，所以2()(2)(2)(0)fxfxfxxf所以220xx，所以20xxx的范围为或【课内练习】1．下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是(D).A．32yxB．3yxC．245yxxD．23810yxx提示：根据函数的图象.2.函数223yxx的增区间是（A）.A．[3,1]B．[1,1]C．(,3)D．[1,)提示：注意函数的定义域.3.2()2(1)2fxxax在(,4]上是减函数，则a的取值范围是（A）.A．3aB．3aC．5aD．3a提示:考查二次函数图象的对称轴和区间端点.4．若函数()fx在区间[a,b]上具有单调性，且0)()(bfaf,则方程()0fx在区间[a，b]上（D）A．至少有一个实数根B．至多有一个实数根C．没有实数根D．必有唯一的实数根提示:借助熟悉的函数图象可得.5.函数2610yxx的单调增区间是__(,3]__，单调减区间___[3,)___。提示:画出二次函数的图象,考虑函数对称轴.6．若2()23fxxmx当[2,)x时是增函数,当(,2]x时是减函数,则(1)f13提示：由题可知二次函数的对称轴是2x可求出m的值.7．已知()fx在定义域内是减函数，且()fx0，在定义域内下列函数为单调增函数为②③①()yafx（为常数）；②()yafx（a为常数）；③1()yfx；④2[()]yfx．提示：借助复合函数的单调性.8．函数(1)()log[0,1]xxafxa在上的最大和最小值的和为a，则a=12提示：()fx是[0,1]上的增函数或减函数,故(0)(1)ffa，可求得a=129．设()fx是定义在(0,)上的单调增函数，满足()()(),(3)1fxyfxfyf求：（1）f（1）；（2）当()(8)2fxfx时x的取值范围.解:(1)令1xy可得(1)0f(2)又2=1+1=(3)(3)(9)fff由()(8)2fxfx,可得[(8)](9)fxxf因为()fx是定义在(0,)上的增函数,所以有0x且80x且(8)9xx，解得：89x10．求证:函数()(0)afxxax在(,)a上是增函数.证明:设12xxa则12()()fxfx1212()()aaxxxx1212()(1)axxxx121212()()xxaxxxx当12xxa时120xx,120xx,12xxa，所以12()()0fxfx所以函数()(0)afxxax在(,)a上是增函数.课后作业-A组1.下列四个函数：①1xyx;②2yxx；③2(1)yx;④21xyx，其中在(-,0)上为减函数的是（A）。（A）①（B）④（C）①、④（D）①、②、④2.函数)(xf在),(ba和),(dc都是增函数，若),(),,(21dcxbax，且21xx那么（D）A．)()(21xfxfB．)()(21xfxfC．)()(21xfxfD．无法确定3.已知函数)(xf是定义在)2,2(上的减函数，若(1)(21)fmfm，实数m的取值范围为(B)A.m0B.30m2C.-1m3D.1322m4.已知]3,1[,)2()(2xxxf，函数)1(xf的单调递减区间为]1,2[5.函数xxy1在]2,1[上的值域为3[0,]26.判断函数2()1axfxx(a≠0)在区间(－1，1)上的单调性。解：设1211xx,则11221()()1axfxfxx－1222xax＝)1)(1())(1(22211221xxxxxxa,∵2110x,2210x,1210xx,210xx,∴)1)(1())(1(22211221xxxxxx0,∴当0a时,12()()0fxfx,函数()yfx在(－1,1)上为减函数，120yx1-1当0a时,12()()0fxfx,函数()yfx在(－1,1)上为增函数.7.作出函数2()|1|fxxx的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间.解:当11xx或时,21yxx215()24x当11x时,22151(_)24yxxx由函数图象可以知道函数增区间为1(,1],[,1]2函数减区间为1[1,],[1,)28.设()fx是定义在(0,)上的增函数，(2)1f，且()()()fxyfxfy，求满足不等式()(3)2fxfx的x的取值范围.解:由题意可知:2()(3)(3)fxfxfxx又22(2)(2)(2)(4)ffff，于是不等式()(3)2fxfx可化为2(3)(4)fxxf因为函数在(0,)上为增函数,所以不等式可转化为：,解得：34x，所以x的取值范围是(3,4].课后作业-B组1.函数||2xxy的单调递减区间为(A)A.11[,0][,)22和B.1[,0]2C.11[,0][,1]22和D.1[1,0][,)2和2.单调增函数()fx对任意Ryx,，满足()()(),(3)(392)0xxxfxyfxfyfkf若恒成立，则k的取值范围是（B）A．)122,122(B．)122,(C．]122,0(D．),122[3.函数y＝80212xx的单调递增区间为（A）A．(,8)B．(,1)C．(1,)D．(8,)4.函数y＝xx11的递减区间是(―∞,―1)、(―1,＋∞)；函数y＝xx11的递减区间是(－1,＋1]5.已知函数()fx在[0,π)上是递减函数，那么下列三个数(lg100)f,f(2),f(23)，从大到小的顺序是f(2)(lg100)ff(23)6.(1)证明：函数yx在[0,)上是增函数，(2)并判断函数yxx在[0,)上的单调性(3)求函数yxx在区间[1，4]上的值域.证明：(1)设120xx，则由已知yx，有12121212xxyyxxxx因为120xx120xx，所以12120xxxx，即12yy.所以函数yx在[0,)上是增函数.(2)(),()fxxgxx在[0,)上都是增函数，所以()()yfxgx，即yxx在[0,)上是增函数.(3)由(2)可以知道该函数在区间[1,4]上为增函数则由函数单调性可以知道,该函数的值域为[1,3]7.如果二次函数2()(1)5fxxax在区间1(,1)2上是增函数，求f（2）的范围。解：二次函数f（x）在区间1(,1)2上是增函数因为图象开口向上，故其对称轴12ax与12x重合或者位于12x的左侧所以有1122a，所以2a所以(2)22117f,即(2)7f8.若)(xf是定义在),0(上的增函数，且对于0x满足)()()(yfxfyxf。（1）求)1(f的值；（2）若1)6(f，试求解不等式2)1()3(xfxf。解：（1）令0yx，则0)()()1(xfxff。（2）因为1)6(f，所以)6(2)1()3(2)1()3(fxfxfxfxf)6()6()]3([ffxxf)6()6()]3([ffxxf)6(6)3(fxxf由于)(xf是定义在),0(上的增函数，且06)3(xx，所以66)3(xx，解得：217330x。