多项式响应面模型

多项式响应面模型以福特汽车公司为例，该公司的一次汽车碰撞如果采用普通仿真的方法进行计算，需要36160个小时。对于一个双变量的优化问题，假设需要50次迭代，而每次迭代需要一次碰撞仿真，那么总共要花费75天一11个月。显然，如此长的仿真时间，在实际应用中不可能被接受。随着计算机科学的快速发展，虽然计算机的计算性能己得到了极大的提升，但是工程中的分析计算模型的复杂度也在不断增加。研究背景和意义在一些结构设计开发阶段中，通过有限元仿真技术对产品的工程结构进行性能分析和优化设计，在一定程度上缩短了分析和设计的循环周期。然而，在计算机运算速度不断提高的同时，工程师对有限元仿真分析的精度要求也会相应提高，尤其对于大量复杂且精细的工程结构而言，完成一次具有高保真度的工程有限元仿真分析的计算代价就会大大提高。同时，伴随着多学科优化设计的提出和研究，工程结构的优化设计往往需要大量的仿真分析来得到不同设计变量组合的系统响应值，可见仅仅依靠有限元仿真技术来进行优化设计会显得不切实际，也就是说，计算机能力的发展进步并没有明显缩短实际复杂工程结构的优化设计周期，反而增加了有限元建模的复杂程度。为了在一定程度上科学减少复杂耗时的仿真计算数量，代理模型技术得到发展和完善，并作为研究热点逐渐应用到各个领域实际的复杂工程优化设计中。代理模型，也称为近似模型，是主要根据试验设计所选择的有限少量样本点和基于有限元仿真或物理实验所得到的相应响应值，所构造的计算复杂度低、计算速度快，但计算结果接近于实际结果的数学模型。因此在满足一定精度的情况下可用来替代表征实际优化问题的数值模型，进而减少耗时的有限元计算数量，满足在复杂工程结构优化设计中有效缩短设计周期和计算机成本的要求。代理模型法的主要步骤1.选取抽样方法，根据所选取的抽样方法，选取抽样点和响应值，遵循的原则是样本点的随机性和代表性，能够反映整个样本的发展情况。2.根据样本点的线性和非线性，是否采用高阶和非高阶，具体实现什么功能，比如需要有些预测性，需要高精度拟合等。选择合适的模型，也可以选取多种模型进行对比，同时也可以用多个模型来处理同一个问题（时间允许的范围内）。3.在选取模型之后，对模型的精度和准确度进行判断，看看是否符合精度要求，通过方差或者相对均方根误差来判断模型的准确性，和选取合适的模型抽样方法全因子采样正交采样均匀采样随机采样拉丁超立方（LHS）拉丁超立方（LHS）由于LHS可兼顾样本点在参数空间的均匀性和随机性，一般在相同样本数量下基于LHS方法抽取样本更具空间代表性，基于LHS获取样本点建立的代理模型预测精度往往精度更高;此外LHS采样对参数维度和样本数量没有直接要求，操作更为简单可控，故而系目前最为常用的高维空间采样方案。全因子采样随机抽样拉丁超立方代理模型的分类多项式响应面模型（PRS）径向基函数模型（RBF）Kriging模型（KRG）多元自适应样条回归模型（MARS）支持向量回归模型（SVR）加权平均模型（WAM）人工神经网络（ANN）多项式响应面模型的数学模型在响应面法中，为了获得表示设计变量和目标量之间关系的数学模型，经常使用线性或二次多项式函数形式的一阶和二阶响应面模型来近似，通常一个低阶多项式就能满足工程应用要求，如果响应面具有很强的非线性，那么需要用高阶的多项式，当考虑随机变量之间交叉影响时，可采用含交叉项的多项式。一阶响应面的模型的基本形式二阶响应面的模型的基本形式其中𝑥𝑖为𝑛维自变量𝑥的第i个分量，𝛽0,𝛽𝑖,𝛽𝑖𝑗未知参数，构成列向量𝛽，𝜀为误差。01niiifxx011++nnniijiijiijifxxxx通常在进行计算的过程中，通常先采用一阶模型，其目的是引导实验者沿着改善系统的路径快速而有效地最优的附近区域前进，一旦找到最优区域，就可以用更精细的模型（例如二阶模型）进行分析以遍确定最优点的位置。通过利用最小二乘法估算回归方程的回归系数。构建多项式响应面模型。为了计算结果的精确性，需对拟合方程的精确度进行判定。通常采用方差的形式进行判定。式中N为样本点数量,𝑦𝑖为真实响应值，𝑦𝑖为响应面模型计算所得的响应值，𝑦𝑖为真实响应值的平均值。代理模型的拟合精度通常采用R2和调整决定系数R2adj来评估，R2和R2adj越接近1，数学模型与原模型之间的误差越小，拟合精度就越高，但若设计变量增多则更趋向于用R2adj来评估。RSME被称为相对均方根误差222111NiiiNiiiyyRyy21iRSMEiiNyy多项式响应面模型的优缺点优点：能够有效过滤计算中的数值噪声，剔除由于模型迭代残差和收敛不稳定带来的计算结果数值抖动，保证代理模型拟合结果的光顺平滑，从而提高整个代理模型拟合过程的自动化程度、可靠性和适用性，有利于后续的性能计算和优化。缺点：由于多项式函数拟合高度非线性函数的能力不足，对于高度非线性的系统响应，虽然通过增加多项式阶次降低拟合误差，但过拟合现象导致模型的预测不稳定性也随之增加，且待定系数的增加使得模型对样本数量的需求也大幅增加，导致建模效率降低。模型对比在模型拟合精度上，二次多项式适用于低阶非线性问题，而人工神经网络、Kriging函数和径向基函数则适用广泛这是由于二次多项式限于函数形式，只能对一阶或二阶函数进行拟合，而对高阶函数的拟合则会产生较大的误差；在模型拟合效率上，人工神经网络和Kriging函数的模型拟合过程耗时较长，而二次多项式和径向基函数则拟合效率较高，这主要是由于人工神经网络的样本学习和Kriging函数的极大值获得通过多维多峰函数优化求解来完成，计算耗时。