Logistic模型

1按Logistic规律建立两种群依存模型摘要：自然界中处于同一环境下的两个种群相互依存而共生的现象是很普遍的，在两种群共生依存的条件下又可以将其分为三类。例如，人类与植物二者可以独立生存，当两者在一起是可以促进增长。植物可以独立生存，但昆虫的受粉作用又可以提高植物的增长率，而昆虫却不能离开植物单独存活。豆科植物和根瘤菌都不能独立生存，只有在一起才能共生。豆科植物供给根瘤菌碳水化合物，根瘤菌供给植物氮素养料，从而形成互利共生关系。通过分析以上三种关系，按logistic增长规律分别建立相应的模型，分析其平衡点的稳定性，并运用matlab软件作数值解及图形，验证平衡点稳定性的结论。关键词：相互依存三种关系logistic模型平衡点稳定性2一、问题提出：自然界中的两种群存在关系有相互竞争、相互依存、食饵捕食。其中相互依存又包括：甲乙均可独立生存，在一起时相互促进；甲可以独立生存而乙不可以独立生存在一起相互促进增长；甲乙都不可以独立生存，在一起相互促进增长。按照Logistic规律建立两种群相互依存的三种模型。二、模型假设1.假设第一类情况为甲乙均可独立生存，在一起时相互促进；2.假设第二类情况为甲可以独立生存而乙不可以独立生存在一起相互促进增长；3.假设第三类情况为甲乙都不可以独立生存，在一起相互促进增长；4.种群数量的演变遵从Logistic规律。三、符号说明)(1tx——甲种群在t时刻的数量；)(2tx——乙种群在t时刻的数量；1N——环境资源容许甲种群的最大数量；2N——环境资源容许乙种群的最大数量；1r——甲种群的固有增长率；2r——乙种群的固有增长率；1——单位数量乙提供的供养甲的食物量为单位数量甲消耗的供养甲食物量的1倍；2——单位数量乙提供的供养甲的食物量为单位数量甲消耗的供养甲食物量的2倍；三、模型建立4.1模型一：甲乙均可独立生存，在一起时相互促进。甲可以单独生存，按照logistic增长规律种群甲的演变数量规律可以写作)1()1(1111Nxxrdtdx（1）3其中，－11Nx表示甲种群自生的阻滞作用。由于乙种群的存在对甲种群的增长起到了促进作用，所以方程(1)可改进为：)1()1(2211111NxNxxrdtdx（2）其中，221Nx表示乙不是消耗甲的资源而是为甲提供资源。种群乙可以独立生存，所以乙的增长规律类似种群甲，即为：)1()2(1122222NxNxxrdtdx（3）综合方程（2）、（3）可得第一类情况的模型：)1()2()1()1(11222222211111NxNxxrdtdxNxNxxrdtdx4.2模型二：甲可以独立生存而乙不可以独立生存在一起相互促进增长。在模型一的基础上我们可以知道对于种群甲的生长规律为：)1()1(2211111NxNxxrdtdx（2）而对于种群乙就有所不同，种群乙没有甲的存在会死亡，则乙单独存活时有：222)(xrdtxd（4）甲为乙提供食物，于是（4）右端应该加上甲对乙的增长的促进作用，有)1()(112222Nxxrdtxd（5）显然仅当1112Nx时种群乙的数量才会增长。与此同时乙的增长又会受到自身的阻滞作用，所以（5）右端还应加上logistic项，方程变为)1()(22112222NxNxxrdtxd（6）综合方程（2）、（6）可得第二类情况的模型：4)1()()()1()()(2211222222111111NxNxxrtdxdNxNxxrtdxd4.3模型三：甲乙都不可以独立生存，在一起相互促进增长。在模型二的基础上我们已知对于乙种群模型仍为：)1()(22112222NxNxxrdtxd（6）种群甲不能单独生存，则甲单独生存时有：111)(xrdtxd（7）乙为甲提供食物，于是（7）右端应该加上乙对甲的增长的促进作用，有)1()(221111Nxxrdtxd（8）显然仅当1221Nx时种群甲的数量才会增长。与此同时甲的增长又会受到自身的阻滞作用，所以（8）右端还应加上logistic项，方程变为)1()(11221111NxNxxrdtxd（9）综合方程（6）、（9）可得第三类情况的模型：)1()()()1()()(2211222211221111NxNxxrtdxdNxNxxrtdxd五、模型求解及分析我们求解模型方程的平衡点，并讨论其稳定性，从而对两种群的变化趋势作出判断。为此，给出求解平衡点的方法：记：121211112,1xxfxxrxNN（1）211222221,1xxgxxrxNN（2）5并且，令：1212,0,0fxxgxx求解即可得到平衡点。对于平衡点的稳定性分析方法如下：2121xgxgxfxfA将平衡点代入矩阵A中，记p等于矩阵A主对角线元素之和的相反数；p为行列式的值。稳定的条件：0;0qp。5.1求解模型一根据以上方法，令：0)1(),(0)1(),(112222221221111121NxNxxrxxgNxNxxrxxf求解出模型一的平衡点为：11,0PN220,PN11223121211,11NNP40,0P进而检验平衡点的稳定性：记2121xgxgxfxfA=12111111112222122222212122xxxrrrrNNNxxxrrrrNNN将平衡点代入可得以下平衡点的稳定性表：平衡点pq稳定条件1P)(21rr21rr不稳定2P)1(221rr)1(221rr不稳定3P)1(112rr)1(121rr不稳定4P2122111)1()1(rr2121211)1)(1(rr1215.1.1用matlab软件作出模型一的数值模拟如下：6数值解)2(),1(xx的图形相轨线图由以上可知，由于0,021rr，所以321,,ppp都不稳定，只有在121的情况下，平衡点4P是稳定的。此时甲、乙两种群将分别趋向于非零的有限值；否则由于二者均能独立生存又相互提供食物，将使二者均趋向无穷。MATLABL代码详见附录一。5.2求解模型二：按照平衡点和稳定性的求法7令：0)1(),(0)1(),(221122221221111121NxNxxrxxgNxNxxrxxf可得稳定点为：)0,(11Np)0,0(2p)1)1(,1)1((212221113NNp),0(24Np进而检验平衡点的稳定性：2121xgxgxfxfA=11222222122221112211111122NxrNxrrNxrNxrNxrNxrr将平衡点代入可得模型二的平衡点稳定性表：平衡点pq稳定条件1P)1(221rr)1(221rr1,12122P21rr21rr不稳定3P2122111)1()1(rr2121211)1)(1(rr1,1,12121对于4p不符合实际情况，所以不加以讨论。5.2.1用matlab软件作出模型二的数值模拟如下：8数值解)2(),1(xx的图形相轨线图上图为平衡点满足1,1212时的图形。表明甲种群可以独立生存，乙种群为甲提供食物使甲增长的速度提高，但是由于受到自身的阻滞作用甲始终趋于一个极限值。而乙种群不能独立生存，虽然甲会促进乙生存，但是幅度较小，当甲趋于极限值时乙种群趋于0.MATLABL代码详见附录二。当平衡点满足1,1,12121时图形为：9数值解)2(),1(xx的图形相轨线图由于12所以乙种群的增长也得到了明显的提高。在初期乙为甲提供食物所以甲增长较快，乙增长较慢。稳定之后甲乙都相互促进增长。MATLABL代码详见附录三。5.3求解模型三：令：0)1(),(0)1(),(221122221112211121NxNxxrxxgNxNxxrxxf求解可得以下四个平衡点：10)0,0(1p)1)1(,1)1((212221112NNp),0(23Np)0,(14Np2121xgxgxfxfA=22212122122221111112211122NxrNrxrNxrNxrNxrNxrr将平衡点代入得到模型三的平衡点稳定性表：平衡点pq稳定条件1P21rr21rr稳定2P1)1()1(211221rr1)1)(1(212121rr不稳定对于43,pp不符合实际情况，所以不加以讨论。5.3用matlab软件作出模型二的数值模拟如下：数值解)2(),1(xx的图形11相轨线图由于无论21,取何值p1都是稳定的，所以只要求1,121。甲乙随着时间的无限延长最终都趋于0。MATLABL代码详见附录四。六、模型评价模型优点：1.建立模型步骤严谨，浅显易懂；2.模型求解详细易于理解；3.模型类型仅扣实际，适合应用在实际生活中。模型不足：由于对相关知识掌握的不够，所以在模型解释上存在一些不足，不易于读者正确理解。因时间仓促对本文分析的不够完善，例如未对相轨线图作详细的分析。七、参考文献：[1]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型.北京:高等教育出版社,2003:184-192.12附录：附录一：ts=0:2:50;x0=[25,2];[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],ans=025.00002.00002.0000105.379015.58164.0000205.047598.26846.0000289.4642224.11048.0000325.7180260.373210.0000332.2684265.80861312.0000333.2129266.524114.0000333.4804266.574916.0000333.3835266.640518.0000333.2735266.690120.0000333.1187266.754922.0000333.3276266.669224.0000333.3732266.650826.0000333.2809266.688428.0000333.2330266.709530.0000333.2507266.700232.0000333.3662266.653834.0000333.3651266.654036.0000333.3322266.667738.0000333.3643266.654140.0000333.2974266.681242.0000333.3749266.650244.0000333.3846266.646146.0000333.4615266.614548.0000333.4249266.628050.0000333.3734266.6505plot(t,x),grid,gtext('x(1)'),gtext('x(2)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid,附录二：14ts=0:2:50;x0=[25,2];[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],ans=025.00002.00002.0000102.85570.30324.0000177.36360