初三二次函数常见题型及解题策略

第1页共7页二次函数常见题型及解题策略1、两点间的距离公式：22BABAxxyyAB2、中点坐标：线段AB的中点C的坐标为：22BABAyyxx，3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：①用和参数的其他要求确定参数的取值范围；②解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于x的一元二次方程01222＝－mxmx有两个整数根，5＜m且m为整数，求m的值。4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。（方法同上）例：若抛物线3132xmmxy与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于x的方程23(1)230mxmxm（m为实数），求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根。解：当0m时，1x；当0m时，032m，mmx213，mx321、12x；综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是1。第2页共7页6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线22mmxxy（m是常数），求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于m的方程xmxy122；∴01022xxy，解得：11xy；∴抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。（题目要求等价于：关于m的方程xmxy122不论m为何值，方程恒成立）小结．．：关于x的方程bax有无数解00ba7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线1l、2l，点A在2l上，分别在1l、2l上确定两点M、N，使得MNAM之和最小。（2）如图，直线1l、2l相交，两个固定点A、B，分别在1l、2l上确定两点M、N，使得ANMNBM之和最小。（3）如图，BA、是直线l同旁的两个定点，线段a，在直线l上确定两点E、F（E在F的左侧），使得四边形AEFB的周长最小。第3页共7页8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法9、函数的交点问题：二次函数（cbxaxy＋＋＝2）与一次函数（hkxy＋＝）（1）解方程组hkxycbxaxy＋＝＋＋＝2可求出两个图象交点的坐标。（2）解方程组hkxycbxaxy＋＝＋＋＝2，即02＝－＋－＋hcxkbax，通过可判断两个图象的交点的个数有两个交点0＞仅有一个交点0没有交点0＜10、方程法（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量（3）列方程或关系式11、几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求几何分析涉及公式应用图形跟平行有关的图形平移2121kkll＝∥、2121xxyyk平行四边形矩形梯形跟直角有关的图形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等22BABAxxyyAB直角三角形直角梯形矩形跟线段有关的图形利用几何中的全等、中垂线的性质等。22BABAxxyyAB等腰三角形全等等腰梯形跟角有关的图形利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等第4页共7页1、（2012西城一模第25题）平面直角坐标系xOy中，抛物线244yaxaxac与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为(1,0)，OB＝OC，抛物线的顶点为D。(1)求此抛物线的解析式；(2)若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB＝∠ACB，求点P的坐标；(3)Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A，若2QBQA，求点Q的坐标和此时△QAA的面积。第5页共7页2、（2012东城二模第25题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数2+2yaxaxc的图像与y轴交于点30，C，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为03，。（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1：2的两部分，求出此时点M的坐标；（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标。第6页共7页3、（2012海淀二模第24题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线xxmy222与x轴负半轴交于点A，顶点为B，且对称轴与x轴交于点C。（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；（2）D为OB中点，直线AD交y轴于E，若E（0，2），求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M在直线OB上，且使得AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线BC上，若以QPMA、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。第7页共7页4、（2012东城二模第23题）已知关于x的方程2(1)(4)30mxmx。（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若正整数m满足822m，设二次函数2(1)(4)3ymxmx的图象与x轴交于AB、两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线3ykx与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）。