高数总结：基本初等函数图像及其性质

桂林师范高等专科学校14生化班第1页基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y=C（其中C为常数）；常数函数（Cy）0C0C平行于x轴的直线y轴本身定义域R定义域R二、幂函数xy，x是自变量，是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数xy2xy3xy21xy1xy定义域RRR[0,+∞){x|x≠0}值域R[0,+∞)R[0,+∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0,+∞)增增增(0,+∞)减(-∞,0]减(-∞,0)减公共点（1,1）xyOxy2xy3xy1xy21xyO0yxCyOxyy桂林师范高等专科学校14生化班第2页1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(x，他们的图形都经过原点，并当α1时在原点处与x轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y轴对称；2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数；3）当α为正有理数nm时，n为偶数时函数的定义域为（0,+∞），n为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1,1）；4）如果mn图形于x轴相切，如果mn,图形于y轴相切，且m为偶数时，还跟y轴对称；m，n均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。三、指数函数xay(x是自变量,a是常数且0a，1a)，定义域是R；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数xay)1(axay)10(a定义域R值域(0，+∞)奇偶性非奇非偶公共点过点(0，1)，即0x时，1y单调性在），（是增函数在），（是减函数1）当1a时函数为单调增,当10a时函数为单调减；2）不论x为何值,y总是正的,图形在x轴上方；3）当0x时,1y,所以它的图形通过(0,1)点。1yO(0,1)xyxay)10(axxay)1(a1yO(0,1)y桂林师范高等专科学校14生化班第3页3.（选，补充）指数函数值的大小比较*Na；a.底数互为倒数的两个指数函数xaxf)(，xaxf1)(的函数图像关于y轴对称。b.1.当1a时，a值越大，xay的图像越靠近y轴；b.2.当10a时，a值越大，xay的图像越远离y轴。4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Qnma；(1)nmnmaaa(2)nmnmaaa(3)mnnmnmaaa(4)nnnbaabb.根式的性质；(1)aann；(2)当n为奇数时，aann当n为偶数时，)0(0)(aaaaaannc.分数指数幂；(1))1,,,0(*nZnmaaanmnm(2))1,,,0(11*nZnmaaaanmnmnmyxaxf)(xaxf1)(O(0,1)xxO(0,1)yxxf2)(xxh3)(O(0,1)yxxq21)(xxg31)(桂林师范高等专科学校14生化班第4页四、对数函数xyalog(a是常数且1,0aa)，定义域),0(x[无界]1.对数的概念：如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，就是Nab，那么数b叫做以a为底N的对数，记作bNalog,其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子Nalog叫做对数式。对数函数xyalog与指数函数xay互为反函数，所以xyalog的图象与xay的图象关于直线xy对称。2.常用对数：N10log的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数记作Nlg。3.自然对数：使用以无理数7182.2e为底的对数叫做自然对数，为了简便，N的自然对数Nelog简记作Nln。4.对数函数的图象：5.对数函数的性质；性质函数xyalog)1(axyalog)10(a定义域(0，+∞)值域R奇偶性非奇非偶公共点过点(1，0)，即1x时，0y单调性在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数1）对数函数的图形为于y轴的右方，并过点(1,0)；2）当1a时，在区间(0,1)，y的值为负，图形位于x的下方；在区间(1,+)，y值为正，图形位于x轴上方，在定义域是单调增函数。1a在实际中很少用到。yOx(1,0)1xxyalog)1(aOx(1,0)y1xxyalog)10(a桂林师范高等专科学校14生化班第5页6.（选，补充）对数函数值的大小比较*Na；a.底数互为倒数的两个对数函数xyalog，xya1log的函数图像关于x轴对称。b.1.当1a时，a值越大，xxfalog)(的图像越靠近x轴；b.2.当)10(a时，a值越大，xxfalog)(的图像越远离x轴。7.对数的运算法则（公式）；a.如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么：NMMNaaalogloglogNMNMaaalogloglogMnManaloglogb.对数恒等式：NaNalog)010(Naa，且c.换底公式：(1)bNNaablogloglog（1,0aa，一般常常换为e或10为底的对数,即bNNblnlnlog或bNNblglglog）(2)由公式和运算性质推倒的结论：bmnbananloglogd.对数运算性质(1)1的对数是零，即01loga；同理01ln或01lg(2)底数的对数等于1，即1logaa；同理1lne或110lgyOx(1,0)xyalogxya1logyOx(1,0)xxf2log)(xxf3log)(yOx(1,0)xxf21log)(xxf31log)(桂林师范高等专科学校14生化班第6页五、三角函数1.正弦函数xysin,有界函数，定义域),(x，值域]1,1[y图象：五点作图法：0，2，，23，22.余弦函数xycos，有界函数，定义域),(x，值域]1,1[y图象：五点作图法：0，2，，23，23.正、余弦函数的性质；性质函数xysin)(Zkxycos)(Zk定义域R值域[-1,1][-1,1]奇偶性奇函数偶函数周期性2T2T对称中心)0,(k)0,2(k对称轴2kx)0,2(k单调性在22,22kkx上是增函数在232,22kkx上是减函数在kkx2,2上是增函数在kkx2,2上是减函数最值22kx时，1maxy22kx时，1minykx2时，1maxykx2时，1miny桂林师范高等专科学校14生化班第7页4.正切函数xytan，无界函数，定义域)(,2Zkkxx，值域),(yxytan的图像5.余切函数xycot，无界函数，定义域Zkkxx,,),(yxycot的图像6.正、余切函数的性质；性质函数xytan)(Zkxycot)(Zk定义域2kxkx值域RR奇偶性奇函数奇函数周期性TT单调性在)2,2(kk上都是增函数在))1(,(kk上都是减函数对称中心)0,2(k)0,2(k零点)0,(k)0,2(k2O2322532232253yx2O23225223225yx桂林师范高等专科学校14生化班第8页7.正割函数xysec，无界函数，定义域)(,2Zkkxx，值域1secx8.余割函数xxysin1csc，无界函数，定义域)(,Zkkxx，值域1cscx9.正、余割函数的性质；性质函数xysec)(Zkxycsc)(Zk定义域kxx2kxx值域),1[]1(，),1[]1(，奇偶性偶函数奇函数周期性2T2T单调性)232,2()2,22(kkkk减)2,22()22,2(kkkk增)22,232()22,2(kkkk减)232,2()2,22(kkkk增2O232252232253yx-112O232252232253yx-11xysec的图像xycsc的图像桂林师范高等专科学校14生化班第9页续表：性质函数xysec)(Zkxycsc)(Zk对称中心)0,2(k)0,(k对称轴kxkx2渐近线kx2kx六、反三角函数1.反正弦函数xyarcsin，无界函数，定义域[-1,1]，值域],0[A.反正弦函数的概念：正弦函数xysin在区间2,2上的反函数称为反正弦函数，记为xyarcsin2.反余弦弦函数xyarccos，无界函数，定义域[-1,1]，值域],0[B.反余弦函数的概念：余弦函数xycos在区间,0上的反函数称为反余弦函数，记为xyarccosxyarcsin的图像xyarccos的图像3.反正、余弦函数的性质；性质函数xyarcsinxyarccos定义域[-1,1][-1,1]值域],0[],0[奇偶性奇函数非奇非偶函数单调性增函数减函数Oxy1-122Oxy1-12桂林师范高等专科学校14生化班第10页4.反正切函数xyarctan，有界函数，定义域),(x,值域2,2C.反正切函数的概念：正切函数xytan在区间2,2上的反函数称为反正切函数，记为xyarctan5.反余切函数xarcycot，有界函数，定义域),(x,值域,0D.反余切函数的概念：余切函数xycot在区间,0上的反函数称为反余切函数，记为xarcycotxyarctan的图像xarcycot的图像6.反正、余弦函数的性质；函数性质xyarctanxarcycot定义域R值域2,2,0奇偶性奇函数非奇非偶单调性增函数减函数xyO22xyO2桂林师范高等专科学校14生化班第11页三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角的终边上任取．．一点),(yxP，记：22yxr。正弦：rysin余弦：rxcos正切：xytan余切：yxcot正割：xrsec余割：yrcsc二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1cscsin，1seccos，1cottan商数关系：cossintan，sincoscot平方关系：1cossin22，22sectan1，22csccot1三、诱导公式x轴上的角，口诀：函数名不变，符号看象限；y轴上的角，口诀：函数名改变，符号看象限。四、和角公式和差角公式sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(五、二倍角公式cossin22sin2tan1tan22tan2222sin211cos2sincos2cos二倍角的余弦公式常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）2cos22c