积分上限的函数及其导数

2021/2/14第五章定积分1二、积分上限的函数及其导数三、牛顿–莱布尼茨公式一、问题的提出第二节微积分基本公式(FundamentalFormulaofCalculus)四、小结2021/2/14第五章定积分2变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为21)(TTdttv设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程.另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs).()()(1221TsTsdttvTT).()(tvts其中一、问题的提出2021/2/14第五章定积分3设函数)(xf在区间],[ba上连续，并且设x为],[ba上的一点，xadxxf)(考察定积分xadttf)(记.)()(xadttfx积分上限的函数如果上限x在区间],[ba上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在],[ba上定义了一个函数，二、积分上限的函数及其导数2021/2/14第五章定积分4定理１如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(在],[ba上具有导数，且它的导数是)()()(xfdttfdxdxxa)(bxa积分上限函数的性质证dttfxxxxa)()()()(xxxdttfdttfxaxxa)()(图5-2-1(1)2021/2/14第五章定积分5定理１如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(在],[ba上具有导数，且它的导数是)()()(xfdttfdxdxxa)(bxa积分上限函数的性质证dttfxxxxa)()()()(xxxdttfdttfxaxxa)()(图5-2-1(1)2021/2/14第五章定积分6dttfdttfdttfxaxxxxa)()()(,)(xxxdttf由积分中值定理得xf)(],,[xxxxx,0),(fx00limlim().xxfx).()(xfx图5-2-1(2)2021/2/14第五章定积分7如果)(tf连续，)(xa、)(xb可导，则dttfxFxbxa)()()()(的导数)(xF为补充)()()()(xaxafxbxbf证dttfxFxaxb)()(0)()(0dttfxb)(0)(,)()(0dttfxa)()()()()(xaxafxbxbfxF)()()()(xbxadttfdxdxF2021/2/14第五章定积分8例1求.lim21cos02xdtextx解1cos2xtdtedxd,cos12xtdtedxd)(cos2cosxex,sin2cosxex21cos02limxdtextxxexxx2sinlim2cos0.21e00分析：这是型不定式，应用洛必达法则.2021/2/14第五章定积分9例2设)(xf在),(内连续，且0)(xf.证明函数xxdttfdtttfxF00)()()(在),0(内为单调增加函数.证xdtttfdxd0)(),(xxfxdttfdxd0)(),(xf2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF2021/2/14第五章定积分10,)()()()()(200xxdttfdttftxxfxF)0(,0)(xxf,0)(0xdttf,0)()(tftx,0)()(0xdttftx).0(0)(xxF故)(xF在),0(内为单调增加函数.2021/2/14第五章定积分11例3设)(xf在]1,0[上连续，且1)(xf.证明1)(20dttfxx在]1,0[上只有一个解.证,1)(2)(0dttfxxFx,0)(2)(xfxF,1)(xf)(xF在]1,0[上为单调增加函数.,01)0(F10)(1)1(dttfF10)](1[dttf,0所以0)(xF即原方程在]1,0[上只有一个解.令2021/2/14第五章定积分12定理2（原函数存在定理）如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(就是)(xf在],[ba上的一个原函数.定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.2021/2/14第五章定积分13定理3（微积分基本公式）如果)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba.又dttfxxa)()(也是)(xf的一个原函数,已知)(xF是)(xf的一个原函数，CxxF)()(],[bax证三、牛顿—莱布尼茨公式（Newton-Leibnizformula）2021/2/14第五章定积分14令ax,)()(CaaF0)()(dttfaaa,)(CaF),()()(aFxFdttfxa,)()(CdttfxFxa令bx).()()(aFbFdxxfba牛顿—莱布尼茨公式2021/2/14第五章定积分15)()()(aFbFdxxfba微积分基本公式表明：baxF)(一个连续函数在区间],[ba上的定积分等于它的任意一个原函数在区间],[ba上的增量.注意当ba时，)()()(aFbFdxxfba仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题.2021/2/14第五章定积分16例4求.)1sincos2(20dxxx原式20cossin2xxx.23例5设,求.215102)(xxxxf20)(dxxf解解102120)()()(dxxfdxxfdxxf在]2,1[上规定当1x时，5)(xf,102152dxxdx原式.6xyo12图5-2-22021/2/14第五章定积分17例6求.},max{222dxxx解由图形可知},max{)(2xxxf,21100222xxxxxx21210022dxxxdxdxx原式.211xyo2xyxy122图5-2-32021/2/14第五章定积分18例7求解.112dxx当0x时，x1的一个原函数是||lnx,dxx12112||lnx.2ln2ln1ln例8计算曲线xysin在],0[上与x轴所围成的平面图形的面积.解面积0sinxdxA0cosx.22021/2/14第五章定积分193.微积分基本公式1.积分上限的函数xadttfx)()(2.积分上限的函数的导数)()(xfx)()()(aFbFdxxfba牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．四、小结2021/2/14第五章定积分20微积分基本公式牛顿–莱布尼茨公式则有,,,fxCabFxfx若且()bafxdxfba()()FbaFbFa)()()(aFbFdxxfba积分中值定理微分中值定理2021/2/14第五章定积分21思考题设)(xf在],[ba上连续，则dttfxa)(与duufbx)(是x的函数还是t与u的函数？它们的导数存在吗？如存在等于什么？2021/2/14第五章定积分22思考题解答dttfxa)(与duufbx)(都是x的函数)()(xfdttfdxdxa)()(xfduufdxdbx2021/2/14第五章定积分232240002450.011.1,12,;4,242.1cos21113.lim3xtxxxfxxfxdxxxxdxedtxxx练习题求解4.设求设则2021/2/14第五章定积分25作业P2432；5.(4)(5)(8)；9；12..101.3;22.2;313.1练习题答案