高中数学导数经典20题附解析

导数经典20题目录导数经典20题...............................................................................................................................1一、【不等式恒成立-单变量】5道.......................................................................................3二、【不等式恒成立-双变量】5道.....................................................................................13三、【不等式证明】5道......................................................................................................23四、【零点问题】5道..........................................................................................................32一、【不等式恒成立-单变量】【第01题】（2017•广东模拟）已知()lnafxxx=+．（1）求()fx的单调区间和极值；（2）若对任意0x，均有()2lnlnxaxa−≤恒成立，求正数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为2lnln1aa≤+，求出a的范围即可．【解答】解：（1）（0x），()221axafxxxx−′=−=（0x），当0a≤时，()0fx′，在()0,+∞上递增，无极值；当0a时，0xa时，()0fx′，在()0,a上递减，xa时，()0fx′，()fx在(),a+∞上递增，()()ln1fxfaa==+极小值，无极大值．（2）若对任意0x，均有恒成立，即对任意0x，均有2lnlnaaxx≤+恒成立，由（1）得：0a时，()fx的最小值是ln1a+，故问题转化为：2lnln1aa≤+，即ln1a≤，故0ea≤．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查()lnafxxx=+()fx()fx()2lnlnxaxa−≤转化思想，是一道中档题．一、【不等式恒成立-单变量】【第02题】（2019•西安一模）已知函数()()21exfxxax=−−（其中e为自然对数的底数）．（1）判断函数()fx极值点的个数，并说明理由；（2）若对任意的0x，()3exfxxx+≥+，求a的取值范围．【分析】（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的极值点的个数即可；（2）将原问题转化为恒成立的问题，然后分类讨论确定实数a的取值范围即可．【解答】解：（1）()()e2e2xxfxxaxxa′=−=−，当0a≤时，()fx在(),0−∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()fx有1个极值点；当102a时，()fx在(),ln2a−∞上单调递增，在()ln2,0a上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()fa有2个极值点；当12a=时，()fx在R上单调递增，此时函数没有极值点；当12a时，()fx在(),0−∞上单调递增，在()0,ln2a上单调递减，在()ln2,a+∞上单调递增，()fa有2个极值点．综上，当12a=时，()fx没有极值点；当0a≤时，()fx有1个极值点；当0a且12a≠时，()fx有2个极值点．（2）由得32e0xxxaxx−−−≥．当0x时，2e10xxax−−−≥，即2e1xxax−−≤对0x∀恒成立．设()2e1xxgxx−−=（0x），()3exfxxx+≥+则()()()21e1xxxgxx−−−′=，设()e1xhxx=−−，则()e1xhx′=−，由0x可知()0hx′，()hx在()0,+∞上单调递增，()()00hxh=，即e1xx+，()gx∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()1e2gxg∴≥=−，e2a∴≤−，故a的取值范围是(],e2−∞−．【点评】本题主要考查导数研究函数的极值点，导数研究不等式恒成立的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．【第03题】（2017春•太仆寺旗校级期末）已知函数()lnfxxax=−，()1agxx+=−（a∈R）．（1）若1a=，求函数()fx的极小值；（2）设函数()()()hxfxgx=−，求函数()hx的单调区间；（3）若在区间[]1,e上存在一点0x，使得()()00fxgx成立，求a的取值范围．【分析】（1）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数()fx的极值；（2）先求出函数()hx的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；（3）先把()()00fxgx成立转化为()00hx，即函数()1lnahxxaxx+=+−在[]1,e上的最小值小于零；再结合（2）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）()fx的定义域为()0,+∞，当1a=时，()lnfxxx=−，()111xfxxx−′=−=，x()0,11()1,+∞()'fx−0+()fx减极小增所以()fx在1x=处取得极小值1．（2）()1lnahxxaxx+=+−，()()()221111xxaaahxxxx+−++′=−−=，①当10a+时，即1a−时，在()0,1a+上()0hx′，在()1,a++∞上()0hx′，所以()hx在()0,1a+上单调递减，在()1,a++∞上单调递增；②当10a+≤，即1a≤−时，在()0,+∞上()0hx′，所以，函数()hx在()0,+∞上单调递增．（3）在区间[]1,e上存在一点0x，使得()()00fxgx成立，即在[]1,e上存在一点0x，使得()00hx，即函数在[]1,e上的最小值小于零．由（2）可知，①当1ea+≥，即e1a≥−时，()hx在[]1,e上单调递减，所以()hx的最小值为()eh，由()1ee0eaha+=+−可得2e1e1a+−，因为2e1e1+−e1−，所以2e1e1a+−；②当11a+≤，即0a≤时，()hx在上单调递增，所以()hx最小值为()1h，由()1110ha=++可得2a−；③当11ea+，即0e1a−时，可得()hx最小值为()1ha+，因为()0ln11a+，所以，()0ln1aaa+，故()()12ln12haaaa+=+−+，此时，()10ha+不成立．综上可得，所求a的范围是：或2a−．【点评】本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．()1lnahxxaxx+=+−[]1,e2e1e1a+−【第04题】（2019•蚌埠一模）已知函数()()2lnfxaxxx=−−．（1）当1a=时，求函数()fx的单调区间；（2）若()0fx≥恒成立，求a的值．【分析】（1）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论x的范围，问题转化为01x时，2lnxaxx≤−，1x时，2lnxaxx≥−，令()gx=2lnxxx−，根据函数的最值求出a的范围，取交集即可．【解答】解：（1）1a=时，()2lnfxxxx=−−，（0x）故()()()211121xxfxxxx+−′=−−=，令()0fx′，解得：1x，令()0fx′，解得：01x，故()fx在()0,1递减，在()1,+∞递增．（2）若()0fx≥恒成立，即()2lnaxxx−≥，①()0,1x∈时，20xx−，问题转化为2lnxaxx≤−（()0,1x∈），1x时，20xx−，问题转化为2lnxaxx≥−（1x），令()gx=2lnxxx−，则()()()22121lnxxxgxxx−−−′=−，令()()121lnhxxxx=−−−，则()112lnhxxx′=−+−，()2120xxxh′=−−′，故()hx′在()0,1和()1,+∞内都递减，()0,1x∈时，()()10hxh′′=，故()hx在()0,1递增，()()10hxh=，故()0,1x∈时，()0gx′，()gx在()0,1递减，而1x→时，()1gx→，故()0,1x∈时，()1gx，故1a≤，()1,x∈+∞时，()()10hxh′′=，故()hx在()0,1递减，()()10hxh=，故()1,x∈+∞时，()0gx′，()gx在()1,+∞递减，而1x→时，()1gx→，故()1,x∈+∞时，()1gx，故1a≥，②1x=时，显然成立．综上：1a=．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．【第05题】（2019•南昌一模）已知函数()()elnxfxxxa=−++（e为自然对数的底数，a为常数，且1a≤）．（1）判断函数()fx在区间()1,e内是否存在极值点，并说明理由；（2）若当ln2a=时，()fxk（k∈Z）恒成立，求整数k的最小值．【分析】（1）由题意结合导函数的符号考查函数是否存在极值点即可；（2）由题意结合导函数研究函数的单调性，据此讨论实数k的最小值即可．【解答】解：（1）()1eln1xfxxxax′=−++−，令()1ln1gxxxax=−++−，()1,ex∈，则()()'exfxgx=，()2210xxgxx−+′=−恒成立，所以()gx在()1,e上单调递减，所以()()110gxga=−≤，所以()'0fx=在()1,e内无解．所以函数()fx在区间()1,e内无极值点．（2）当ln2a=时，()()elnln2xfxxx=−++，定义域为()0,+∞，()1elnln21xfxxxx′=−++−，令()1lnln21hxxxx=−++−，由（1）知，()hx在()0,+∞上单调递减，又11022h=，()1ln210h=−，所以存在11,12x∈，使得()10hx=，且当()10,xx∈时，()0hx，即()'0fx，当()1,xx∈+∞时，()0hx，即()'0fx．所以()fx在()10,x上单调递增，在()1,x+∞上单调递减，所以()()()1111maxelnln2xfxfxxx==−++．由()10hx=得1111lnln210xxx−++−=，即1111lnln21xxx−+=−，所以()1111e1xfxx=−，11,12x∈，令()1e1xrxx=−，1,12x∈，则()211e10xrxxx′=−+恒成立，所以()rx在1,12上单调递增，所以()()1e102rrxr−==，所以()max0fx，又因为1211eeln2ln21222f=−−+=−−，所以()max10fx−，所以若()fxk（k∈Z）恒成立，则k的最小值为0．【点评】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，导数的综合运用等知识，属于中等题．二、【不等式恒成立-双变量】【第06题】（2019•广元模拟）已知函数()()ln11xfxaxx=−++（a∈R），()2emxgxx=（m∈R）．（1）