高等数学(本科)课程大纲

《高等数学》课程教学大纲一、课程教学目的与基本要求高等数学是高等学校工科类最重要的基础理论课之一。通过本课程的学习，使学生系统地获得微积分、空间解析几何、级数及常微分方程的基础理论知识和常用的运算方法。通过各教学环节逐步培养学生具有比较熟练的分析问题和解决问题的能力。为学习后继课程及今后的专业工作奠定必要的数学基础。1、要正确理解以下概念：函数、极限、连续性、导数、微分、偏导数、全微分、函数的极值。不定积分、定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分、无穷级数的敛散性、无穷级数的和、有关空间解析几何及常微分方程的基本概念。2、要掌握下列基本理论、基本定理和公式：基本初等函数的性质及图形，基本初等函数的导数公式，微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日定理），不定积分基本公式，变上限积分及其求导定理、牛顿－莱伯尼兹公式，偏导数的几何意义，极值存在的必要条件，格林公式，几何级数和P级数的收敛性，级数敛散性的判定条件，直线与平面的方程，典型的二次曲面、二阶线性常微分方程解的结构。3、熟练掌握下列运算法则和方法：求函数和数列极限的方法与运算法则，导数和微分的运算法则，复合函数求导法，初等函数一阶、二阶导数的求法，用导数判断函数的单调性及求极值方法，多元函数复合函数的偏导数求法，不定积分、定积分的换元与分部积分法，正项级数的比值审敛法，求幂级数的收敛半径和收敛区域，函数展开成幂级数的间接展开法，函数展开成傅里叶级数，一阶可分离变量微分方程的求解，二阶常系数齐次线性微分方程的解法。4、应用方面：用定积分和常微分方程方法求解一些简单的几何和物理问题，用极值方法求解最大值最小值的应用问题，用边际与弹性分析常用的经济问题。二、课程主要内容第一章函数、极限、连续1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法。2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3、理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。会建立简单函数关系式。4、掌握基本初等函数的性质和图形。5、理解极限的概念，了解分段函数的极限。6、掌握极限四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。7、掌握极限存在的二个准则，并会利用它们求极限。8、理解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。9、理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。10、了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。第二章导数与微分1、理解解导数的概念（包括左、右导数）导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间关系。2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式。会求分段函数的一阶和二阶导数。3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。掌握初等函数的二阶导数的求法。4、会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。5、了解微分的概念和四则运算。6、会用导数描述一些简单的物理量。第三章中值定理与导数的应用1、理解并会应用罗尔定理、拉格朗日定理，利用定理能求方程的根、证明不等式。了解柯西定理。2、理解函数的极值概念，掌握用导数判别函数的单调性和求函数极值的方法。3、会用导数描绘图形（包括水平、垂直、斜渐近线）。4、会求最大值、最小值的应用问题。5、掌握洛必达法则求未定式极限的方法。6、了解曲率、曲率半径的慨念，并会计算。了解求方程近似解的二分法和切线法。第四章不定积分1、理解原函数概念，理解不定积分的概念及性质。2、掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分法（对有理函数的待定系数法分解，不作过高要求）。第五、六章定积分及其应用1、理解定积分的基本慨念，定积分中值定理。2、理解变限函数及其求导定理，掌握牛顿-莱布尼兹公式。3、掌握定积分的性质及换元积分法和分部积分法。4、了解定积分的近似计算方法(梯形法和抛物线法)。5、掌握定积分在几何上应用（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面为已知的立体体积），和经济上应用。6、了解广义积分的概念，会计算广义积分。第七章空间解析几何与向量代数1、理解向量的概念及其表示。2、掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积)，了解两向量垂直、平行的条件。了解向量的混合积。3、掌握单位向量、方向数、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。4、掌握平面方程(点法式、截距式、一般式方程)、直线方程（参数式方程、对称式方程、一般式方程）、会用平面直线的相互关系解决有关问题。5、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。6、了解空间曲线的参数方程和一般方程；了解它在坐标平面上的投影，并会求其方程。第八章多元函数微分学1、理解多元函数的概念。2、了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。3、理解偏导数与全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分在近似计算中的应用。4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5、掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。6、会求隐函数(包括方程组确定的隐函数)的偏导数。7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。第九章重积分1、理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。2、掌握二重积分(直角坐标、极坐标)的计算方法，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。3、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、立体的体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量等）。第十章曲线积分与曲面积分1、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质，了解两类曲线积分的关系。2、掌握计算两类曲线积分的方法。3、掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。4、了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系。5、掌握计算两类曲面积分的方法。6、了解高斯公式、会用它来计算曲面积分。7、会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量（弧长、曲面面积、质量、功及流量）。第十一章无穷级数1、理解常数项级数收敛与发散的概念、收敛级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2、掌握几何级数、P－级数的敛散性。3、掌握正项级数的判别法（比较法、比值法、根值法）。4、会用交错级数的莱布尼兹判别法。5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的慨念，及二者之间的关系。6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7、掌握幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域的求法。8、了解幂级数在收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。9、了解泰勒公式、泰勒级数，掌握的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数展开幂级数。10、了解幂级数在近似计算中的简单应用。11、了解博里叶级数的概念及函数展开成傅里叶级数的狄利克莱定理。12、会将定义在上函数展开为傅里叶级数、会将定义在上函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。第十二章微分方程1、了解微分方程及解、通解、初始条件和特解等概念。2、掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。3、会解齐次方程，伯努利方程和全微分方程、会用简单变量代换解某些微分方程。4、会用降阶法解下列方程：。5、理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。6、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7、会求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解（自由项由多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数及它们的和、积构成）。8、会解二阶欧拉方程。9、会用微分方程解一些简单的应用问题。三、课程学时分配及教学环节安排表授课内容提要学时备注第一章函数、极限、连续18第二章导数与微分14第三章中值定理与导数的应用14第四章不定积分14第五、六章定积分及其应用18第七章空间解析几何与向量代数18第八章多元函数微分学14第九章重积分10第十章曲线积分与曲面积分12第十一章无穷级数20第十二章微分方程12合计164四、教材及主要参考书目1、教材《高等数学》同济大学应用数学系编高教出版社第5版2、参考书目《高等数学》同济大学高等数学教研室编高教出版社第4版