数学建模中的层次分析法

数学建模中的层次分析法层次分析法简介•层次分析法是萨蒂（saaty)等人20世纪70年代提出的一种决策方法。它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的有效途径，它将各种因素层次化，并逐层比较多种关联因素，为分析和预测事物的发展提供可的定量依据。•层次分析法在决策工作中有广泛的应用。主要用于确定综合评价的权重系数。层次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。层次分析法简介一、层次分析法基本原理分解建立确定计算判断实际问题层次结构多个因素诸因素的相对重要性权向量综合决策二、层次分析法基本步骤一、确定权系数设x1,x2,…xn为对应各因素的决策变量。其线性组合：y=w1x2+w2x2+…+wnx是综合评判函数。w1,w2,…wn是权重系数，其满足：wi0,11niiw对权重系数的量化过程（1）成对比较从x1,x2,…xn中任取xi与xj比较它们对于y贡献（重要程度）的大小，按照以下标度给xi/xj赋值：xi/xj＝1，认为“xi与xj重要程度相同”xi/xj＝3，认为“xi比xj重要程度略大”xi/xj＝5，认为“xi比xj重要程度大”xi/xj＝7，认为“xi比xj重要程度大很多”xi/xj＝9，认为“xi比xj重要程度绝对大”当比值为2，4，6，8时认为介于前后中间状态。（2）建立逆对称矩阵由xi/xj建立n阶方阵A(3)迭代按下列方法求向量迭代序列：e0=(1/n1/n…1/n)Te’k=Aek-1||e’k||为Aek-1的n个分量之和ek=e’k/||e’k||,k=1,2,…数列｛ek｝是收敛的，记其极限为e.且记e=(a1a2…an)于是取权重系数wi=ai例1：评价影视作品•在电视节上评价影视作品，用以下三个评价指标：•x1表示教育性•x2表示艺术性•x3表示娱乐性•有一名专家经成对，赋值：•x1/x2=1x1/x3=1/5x2/x3=1/3•于是得到逆对称矩阵13531115111A3131310e3788.0733.001Aee511.41e665.0172.0162.03788.0733.0511.411e661.0184.0155.0,014.3,991.1565.0467.0222eee659.0185.0156.0,018.3,998.1559.0471.0333eee659.0185.0156.0,028.3,994.1561.0473.0444eee•由于e4=e3,迭代经过4次中止，权系数是w1=0.156,w2=0.185,w3=0.659•相应的综合评价公式是•Y=0.156x1+0.185x2+0.659x3•如果用同样的分制来给作品的三个指标评分，由以上公式算出的便是作品综合评分y。目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途例2.选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.“选择旅游地”思维过程的归纳•将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。•通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。•将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1,0,)(层次分析法的基本步骤成对比较阵和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性ijjiaCC:A~成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1,…,Cn对O的权向量选择旅游地nnnnnn21222121211171242/11A成对比较的不一致情况):(2/12112CCa):(43113CCa):(83223CCa一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况n,,)1(21jiijwwa/令权向量~),,(21Tn成对比较阵和权向量wAwnnnnnn212221212111成对比较完全一致的情况nkjiaaaikjkij,,2,1,,,满足的正互反阵A称一致阵，如•A的秩为1，A的唯一非零特征根为n•A的任一列向量是对应于n的特征向量•A的归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即一致阵性质成对比较阵和权向量2468比较尺度aijSaaty等人提出1~9尺度——aij取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9尺度13579ija相同稍强强明显强绝对强的重要性jiCC:jiCC:~aij=1,1/2,,…1/9的重要性与上面相反•心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个•用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，1~9尺度较优。•便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量一致性检验对A确定不一致的允许范围已知：n阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：n阶正互反阵最大特征根n,且=n时为一致阵1nnCI定义一致性指标:CI越大，不一致越严重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51n1234567891110为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI——随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI。定义一致性比率CR=CI/RI当CR0.1时，通过一致性检验Saaty的结果如下“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通过一致性检验组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为Tn),,()2()2(1)2(同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量12/15/1212/15211B方案层对C1(景色)的成对比较阵1383/1138/13/112B方案层对C2(费用)的成对比较阵…Cn…Bn最大特征根12…n权向量w1(3)w2(3)…wn(3)（2）考虑第3层对第2层由1–9尺度得13131312311138311381311121512121521321BBB144411141111141113143154BB权向量矩阵)3,009.3,3,002.3,006.3()3(max667.0174.0142.0682.0128.0167.0192.0429.0236.0276.0167.0634.0429.0082.0595.0)3(W（3）组合权向量455.0245.0299.0109.0098.0054.0476.0264.0667.0174.0142.0682.0128.0167.0192.0429.0236.0276.0167.0634.0429.0082.0595.0)3(（4）组合一致性检验00176.0109.0098.0054.0476.0264.00005.00001.0003.0)3(CI1.0019.058.000176.0016.058.0)3()3(CRRI第3层对第2层的计算结果k)3(kwkkCI10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量RI=0.58(n=3),CIk均可通过一致性检验w(2)0.2630.4750.0550.0900.110方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T旅游决策问题计算结果权向量C对U0.2640.4760.0540.0980.109λm(2)CI(2)CR(2)5.0720.0180.016准则C方案PC1C2C3C4C5组合权向量P对U权向量P对CP10.5950.0820.4290.6340.1670.299P20.2760.2360.4290.1920.1670.245P30.1220.6820.1420.1740.6670.455λm(3)3.0063.00233.0093CR(3)CI(3)0.0030.00100.0050RI(3)0.580.580.580.580.580.019再谈层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。2）构造成对比较阵用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。Tn),,()2()2(1)2()2()3()3(组合权向量第1层O第2层C1,…Cn第3层P1,…Pmnk),,()3()3(1)3(第2层对第1层的权向量第3层对第2层各元素的权向量],,[)3()3(1)3(n构造矩阵则第3层对第1层的组合权向量)2()3()1()()(第s层对第1层的组合权向量其中W(p)是由第p层对第p-1层权向量组成的矩阵二.层次分析法的广泛应用•应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。•处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。•建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。•构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易美、俄、中、日、德等大国工作选择贡献收入发展声誉关系位置供选择的岗位例1国家实力分析例2工作选择通过组合一致性检验过河的效益A经济效益B1社会效益B2环境效益B3节省时间C1收入C2岸间商业C3当地商业C4建筑就业C5安全可靠C6交往沟通C7自豪感C8舒适C9进出方便C10美化C11桥梁D1隧道D2渡船D3（1）过河效益层次结构例3横渡江河、海峡方案的抉择过河的代价A经济代价B1环境代价B3社会代价B2投入